№7. Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра?

Пошаговое решение:

1. Додекаэдр — это многогранник, у которого 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. У додекаэдра 30 рёбер и 20 вершин.

2. Чтобы обойти все рёбра додекаэдра, нужно пройти по каждому ребру хотя бы один раз. Если из каждой вершины выходит чётное число рёбер, то можно обойти все рёбра, пройдя по каждому ребру ровно один раз (эйлеров цикл). Если есть вершины, из которых выходит нечётное число рёбер, то необходимо пройти по некоторым рёбрам несколько раз.

3. В каждой вершине додекаэдра сходятся три ребра. Так как число рёбер, выходящих из каждой вершины, нечётно, то для каждой вершины нужно пройти хотя бы одно ребро, выходящее из этой вершины, ещё раз. Чтобы минимизировать количество рёбер, которые нужно пройти дважды, нужно найти такое множество рёбер, которое связывает все вершины с нечётным числом рёбер.

4. Минимальное число рёбер, которое нужно пройти дважды, равно половине числа вершин с нечётным числом рёбер. В додекаэдре все 20 вершин имеют нечётную степень (3), поэтому минимальное число рёбер, которое нужно пройти дважды, равно 20 / 2 = 10. Однако каждое ребро соединяет две вершины, поэтому нужно пройти дважды не 10 рёбер, а 5 рёбер.