Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (это не обязательно наименьшее количество)?

Каждое расстояние между точками кратно 3. Чтобы оно также делилось на 7, оно должно быть кратно 21.

Рассмотрим координаты точек в единицах по 3: расстояние между ними — это разность координат, умноженная на 3. Расстояние кратно 7 тогда и только тогда, когда координаты имеют одинаковый остаток при делении на 7.

Чтобы получить не менее пяти расстояний, делящихся на 7, возможны, в частности, четыре точки одного остатка (они дают 6 таких пар) либо по три точки двух разных остатков (они дают 6 пар). В первом случае размах не меньше 63. Во втором случае три точки каждого остатка в координатах с шагом 3 требуют размаха не меньше 45: например, координаты 0, 21, 42 и 3, 24, 45 дают по три точки каждого остатка и по три подходящие пары в каждой группе.

Расстояние между крайними точками в этом примере равно 45, а все межточечные расстояния кратны 3. Это минимальный возможный размах: при размахе меньше 45 нельзя разместить две группы по три точки с одинаковыми остатками, а одна группа из четырёх точек требует размах не менее 63.

Ответ: 45.