Какое наименьшее значение может принимать выражение? При каких значениях переменной оно достигается?

Решение:

Нам нужно найти наименьшее значение выражений и значения переменной, при которых оно достигается. Рассмотрим каждое выражение:

1. A) \( x^2 \): Наименьшее значение квадрата любого числа равно 0. Это достигается, когда \( x = 0 \).
2. Б) \( x^2 + 8 \): Так как \( x^2 \) имеет наименьшее значение 0, то \( x^2 + 8 \) будет иметь наименьшее значение \( 0 + 8 = 8 \). Это достигается, когда \( x = 0 \).
3. B) \( 4x^2 - 7 \): Наименьшее значение \( 4x^2 \) равно 0 (при \( x = 0 \)). Следовательно, наименьшее значение выражения равно \( 0 - 7 = -7 \), достигается при \( x = 0 \).
4. Г) \( (5x - 4)^2 + 1 \): Квадрат выражения \( (5x - 4)^2 \) имеет наименьшее значение 0. Это происходит, когда \( 5x - 4 = 0 \), то есть \( x = \frac{4}{5} \). Наименьшее значение всего выражения будет \( 0 + 1 = 1 \).
5. Д) \( -3 + (5 - 8x)^2 \): Квадрат выражения \( (5 - 8x)^2 \) имеет наименьшее значение 0. Это происходит, когда \( 5 - 8x = 0 \), то есть \( x = \frac{5}{8} \). Наименьшее значение всего выражения будет \( -3 + 0 = -3 \).
6. E) \( 7(x + 5)^6 - 9 \): Выражение \( (x + 5)^6 \) имеет наименьшее значение 0 (так как степень чётная). Это происходит, когда \( x + 5 = 0 \), то есть \( x = -5 \). Наименьшее значение всего выражения будет \( 7 \cdot 0 - 9 = -9 \).
7. Ё) \( 4(4x - 1)^{10} + 99 \): Выражение \( (4x - 1)^{10} \) имеет наименьшее значение 0 (так как степень чётная). Это происходит, когда \( 4x - 1 = 0 \), то есть \( x = \frac{1}{4} \). Наименьшее значение всего выражения будет \( 4 \cdot 0 + 99 = 99 \).

Сравнивая наименьшие значения всех выражений (-7, -9, -3, 0, 1, 8, 99), наименьшим является -9.

Ответ: Наименьшее значение -9 достигается для выражения E) \( 7(x+5)^6 - 9 \) при \( x = -5 \).