Для определения простого предложения необходимо выделить грамматические основы в каждом из предложенных вариантов.
Он тяготился своей армейской формой и подозрительно приглядывался и прислушивался к юнкерам.
Грамматическая основа: он тяготился, приглядывался, прислушивался. В предложении несколько однородных сказуемых, относящихся к одному подлежащему. Предложение простое, осложнено однородными сказуемыми.
На училище молодёжь смотрела как на неизбежное чистилище, через которое неминуемо надо было пройти.
Грамматические основы: молодёжь смотрела, надо было пройти. В предложении две грамматические основы, соединенные союзным словом которое. Предложение сложноподчинённое.
Низкое здание манежа очертилось перед глазами Шемарина, которому весь этот путь показался прямо-таки бесконечным.
Грамматические основы: здание очертилось, путь показался. В предложении две грамматические основы, соединенные союзным словом которому. Предложение сложноподчинённое.
Шемарин увидел, как стоявший у тяжёлых и открытых ворот манежа дневальный вдруг обернулся к тёмному отверстию ворот.
Грамматические основы: Шемарин увидел, дневальный обернулся. В предложении две грамматические основы, соединенные союзным словом как. Предложение сложноподчинённое.
Из анализа предложенных вариантов следует, что только первый вариант является простым предложением.
Ответ: Он тяготился своей армейской формой и подозрительно приглядывался и прислушивался к юнкерам. (По В. Я. Ивченко)