В приставке не- в слове «не певать» пишется буква е, потому что это приставка отрицания.
Слово «не певать» является глаголом, который можно заменить синонимом «молчать», «не говорить».
Слово «не» с глаголами пишется раздельно, если глагол употребляется без «не» (певать — такого слова нет), или если глагол может быть заменен синонимом с «не».