Каков уровень идентифицируемости первого и второго уравнения системы?

Question

Вопрос:

Каков уровень идентифицируемости первого и второго уравнения системы?

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Для определения уровня идентифицируемости уравнений модели необходимо проанализировать количество эндогенных и экзогенных переменных, а также количество ограничений (исключённых переменных).

Модель:

$$ \begin{cases} C_t = b_{10} + b_{11} Y_t + e_{1t} \ I_t = b_{20} + b_{21} Y_t + b_{22} Y_{t-1} + e_{2t} \ Y_t = C_t + I_t + G_t \\\end{cases} $$

Переменные:

Эндогенные (зависят от модели): $ C_t, I_t, Y_t $
Экзогенные (заданы извне): $ Y_{t-1}, G_t $
Параметры: $ b_{10}, b_{11}, b_{20}, b_{21}, b_{22} $
Случайные ошибки: $ e_{1t}, e_{2t} $

Условия идентифицируемости:

Обозначим:

$ K $ — общее число эндогенных переменных в системе (в данном случае $ K = 3 $: $ C_t, I_t, Y_t $).
$ G $ — число экзогенных переменных в системе (включая лаговые эндогенные переменные, в данном случае $ G = 2 $: $ Y_{t-1}, G_t $).
$ k_i $ — число исключённых (экзогенных) переменных из $ i
-го $ уравнения.
$ m_i $ — число исключённых (эндогенных) переменных из $ i
-го $ уравнения.

Первое уравнение (уравнение для $ C_t $):

Включает эндогенные переменные: $ C_t, Y_t $.
Исключённые экзогенные переменные: $ I_t $ (эндогенная), $ Y_{t-1}, G_t $ (экзогенные).
$ k_1 $ (число исключённых экзогенных переменных): $ Y_{t-1}, G_t $ → $ k_1 = 2 $.
$ m_1 $ (число исключённых эндогенных переменных): $ I_t $ → $ m_1 = 1 $.
Условие необходимой идентифицируемости (ранговый критерий): $ k_1
\geq K - 1 $ → $ 2
\geq 3 - 1 $ → $ 2
\geq 2 $ (удовлетворено).
Условие достаточной идентифицируемости (ранговый критерий): $ k_1
\geq K - 1 $ и $ m_1
\leq K - 1 $ → $ 2
\geq 2 $ и $ 1
\leq 2 $ (удовлетворено).
Уровень идентифицируемости: $ k_1 = K-1 $ → $ 2 = 3-1 $. Уравнение является идентифицируемым (точно идентифицируемым).

Второе уравнение (уравнение для $ I_t $):

Включает эндогенные переменные: $ I_t, Y_t $.
Исключённые экзогенные переменные: $ C_t $ (эндогенная), $ Y_{t-1}, G_t $ (экзогенные).
$ k_2 $ (число исключённых экзогенных переменных): $ Y_{t-1}, G_t $ → $ k_2 = 2 $.
$ m_2 $ (число исключённых эндогенных переменных): $ C_t $ → $ m_2 = 1 $.
Условие необходимой идентифицируемости: $ k_2
\geq K - 1 $ → $ 2
\geq 3 - 1 $ → $ 2
\geq 2 $ (удовлетворено).
Условие достаточной идентифицируемости: $ k_2
\geq K - 1 $ и $ m_2
\leq K - 1 $ → $ 2
\geq 2 $ и $ 1
\leq 2 $ (удовлетворено).
Уровень идентифицируемости: $ k_2 = K-1 $ → $ 2 = 3-1 $. Уравнение является идентифицируемым (точно идентифицируемым).

Примечание: В данном случае $ H = k_i $ (количество исключённых экзогенных переменных), $ D+1 = K $ (количество эндогенных переменных). Соответственно, $ H = D+1 $ является условием точной идентифицируемости.

Ответ: Первое уравнение идентифицируемо (H = D + 1), второе уравнение идентифицируемо (H = D + 1).