167 Какова вероятность того, что натуральное число, случайным образом выбранное из промежутка от 1 до 100, окажется чётным, если известно, что оно делится на 3?

В этой задаче нам нужно найти условную вероятность. Обозначим события:

A = {выбранное число чётное}

B = {выбранное число делится на 3}

Нам нужно найти P(A|B) – вероятность того, что число чётное, при условии, что оно делится на 3.

Формула условной вероятности: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Сначала найдём P(B) – вероятность того, что число делится на 3. В промежутке от 1 до 100 всего 100 чисел. Чисел, делящихся на 3, будет $$ \left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33$$. Значит, $$P(B) = \frac{33}{100}$$

Теперь найдём P(A \cap B) – вероятность того, что число чётное и делится на 3. Это значит, что число должно делиться на 6 (так как 6 – наименьшее общее кратное 2 и 3). В промежутке от 1 до 100 чисел, делящихся на 6, будет $$ \left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor = 16$$. Значит, $$P(A \cap B) = \frac{16}{100}$$

Теперь подставим найденные значения в формулу условной вероятности:

$$P(A|B) = \frac{\frac{16}{100}}{\frac{33}{100}} = \frac{16}{33}$$

Итак, вероятность того, что натуральное число, случайно выбранное из промежутка от 1 до 100, окажется чётным, если известно, что оно делится на 3, равна $$\frac{16}{33}$$.

Ответ: $$\frac{16}{33}$$