Какова вероятность того, что случайное событие произойдет ровно два раза при трех независимых испытаниях, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.4?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли, так как у нас есть фиксированное число испытаний (n=3), каждое испытание имеет только два исхода (успех или неудача), вероятности успехов постоянны (p=0.4), и испытания независимы.

Формула Бернулли:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Где:

• P(X=k) — вероятность того, что событие произойдет ровно k раз.
• n — общее число испытаний (n=3).
• k — число успешных исходов (k=2).
• p — вероятность успеха в одном испытании (p=0.4).
• q — вероятность неудачи в одном испытании (q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6).
• C(n, k) — число сочетаний из n по k, рассчитывается как n! / (k! * (n-k)!).

Рассчитаем число сочетаний:

C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3! / (2! * 1!) = (3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * 1) = 6 / 2 = 3.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

P(X=2) = C(3, 2) * (0.4)^2 * (0.6)^(3-2)

P(X=2) = 3 * (0.4)^2 * (0.6)^1

P(X=2) = 3 * 0.16 * 0.6

P(X=2) = 3 * 0.096

P(X=2) = 0.288

Ответ: 0.288