Каковы параметры а0 и а1 линейного тренда y' = a0 + a1 * t?

Решение:

Для нахождения параметров \( a_0 \) и \( a_1 \) линейного тренда \( y' = a_0 + a_1 \times t \) будем использовать метод наименьших квадратов. Для этого нам понадобятся следующие суммы из таблицы:

• \( Γ = ∑ y = 346993 \)
• \( Σ t = 78 \)
• \( Σ t^2 = 650 \)
• \( Σ yt = 15487067,2 \)
• \( n = 12 \) (количество наблюдений)

Формулы для расчета параметров:

\( a_1 = \frac{n Σ yt - Σ y × Σ t}{n Σ t^2 - (Σ t)^2} \)

\( a_0 = \frac{Σ y - a_1 Σ t}{n} \)

Подставляем значения:

\( a_1 = \frac{12 \times 15487067,2 - 346993 \times 78}{12 \times 650 - (78)^2} = \frac{185844806,4 - 27065454}{7800 - 6084} = \frac{158779352,4}{1716} ≈ 92528,79 \)

\( a_0 = \frac{346993 - 92528,79 \times 78}{12} = \frac{346993 - 7217245,62}{12} = \frac{-6870252,62}{12} ≈ -572521,05 \)

Примечание: В предоставленной таблице есть столбец 'Средние', где для t=7 значение ВВП составляет 28917. Если использовать средние значения для расчета, то: \( a_1 = \frac{Σ yt}{Σ t^2} = \frac{198509}{54} ≈ 3676,09 \), \( a_0 = \bar{y} - a_1 \times \bar{t} = 28917 - 3676,09 \times 7 ≈ 3238,44 \). Эти значения не совпадают ни с одним из предложенных вариантов.

Давайте пересчитаем, используя столбец "ВВП*t" как \( y \times t \) и "ВВП^2" как \( y^2 \) (что является некорректным, но возможно, что было использовано при составлении вариантов ответа). Также, возможно, что \( t \) в таблице - это просто порядковый номер, а не время.

Если предположить, что \( t \) - это время, и данные представлены корректно, то расчеты выше должны быть верны. Однако, учитывая предложенные варианты ответов, вероятно, что использовалась другая методика расчета или данные в таблице служат для проверки.

Пересчитаем \( a_0 \) и \( a_1 \) для варианта \( y' = 23163,40 + 885,17 \times t \) и \( y' = 885,17 + 23163,40 \times t \) с использованием среднего \( \bar{y} \) и \( \bar{t} \) (т.к. \( \bar{y} = a_0 + a_1 \times \bar{t} \) для линейного тренда).

Используя данные из последней строки таблицы (Средние): \( \bar{y} = 28917 \), \( \bar{t} = 7 \).

Проверим вариант 1: \( y' = 23163,40 + 885,17 \times t \)

\( a_0 = 23163,40 \)

\( a_1 = 885,17 \)

Проверим среднее значение: \( a_0 + a_1 \times \bar{t} = 23163,40 + 885,17 \times 7 = 23163,40 + 6196,19 = 29359,59 \)

Это значение близко к 28917, но не совпадает точно.

Проверим вариант 2: \( y' = 885,17 + 23163,40 \times t \)

\( a_0 = 885,17 \)

\( a_1 = 23163,40 \)

Проверим среднее значение: \( a_0 + a_1 \times \bar{t} = 885,17 + 23163,40 \times 7 = 885,17 + 162143,8 = 163028,97 \)

Это значение сильно отличается от 28917.

Проверим вариант 3: \( y' = 25874,36 + 1057,81 \times t \)

\( a_0 = 25874,36 \)

\( a_1 = 1057,81 \)

Проверим среднее значение: \( a_0 + a_1 \times \bar{t} = 25874,36 + 1057,81 \times 7 = 25874,36 + 7404,67 = 33279,03 \)

Это значение также не совпадает точно.

Пересчитаем \( a_1 \) и \( a_0 \) с использованием формулы, как показано выше, но с использованием только данных из таблицы, не средних, и проверим, совпадают ли результаты с одним из вариантов. Возможно, в таблице использованы не \( t \) а \( t-1 \) или \( t-5 \) для сдвига.

Используем \( t' = t - \bar{t} \) где \( \bar{t} = 7 \).

\( t' \) для t=1..12: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

\( Σ y = 346993 \)

\( Σ t' = -6-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5 = -6 \)

\( Σ (t')^2 = 36+25+16+9+4+1+0+1+4+9+16+25 = 146 \)

\( Σ yt' \). Придется пересчитать \( y \times t' \) для каждой строки.

t=1, y=24552, t'=-6, yt' = -147312

t=2, y=26568, t'=-5, yt' = -132840

t=3, y=28246, t'=-4, yt' = -112984

t=4, y=29876, t'=-3, yt' = -89628

t=5, y=24757, t'=-2, yt' = -49514

t=6, y=23662, t'=-1, yt' = -23662

t=7, y=27581, t'=0, yt' = 0

t=8, y=30968, t'=1, yt' = 30968

t=9, y=26771, t'=2, yt' = 53542

t=10, y=30853, t'=3, yt' = 92559

t=11, y=33911, t'=4, yt' = 135644

t=12, y=39260, t'=5, yt' = 196300

\( Σ yt' = -147312 - 132840 - 112984 - 89628 - 49514 - 23662 + 0 + 30968 + 53542 + 92559 + 135644 + 196300 = 155440 \)

\( a_1 = \frac{Σ yt'}{Σ (t')^2} = \frac{155440}{146} ≈ 1064,66 \)

\( a_0 = \bar{y} - a_1 \times \bar{t} = 28917 - 1064,66 \times 7 = 28917 - 7452,62 = 21464,38 \)

Это значение \( a_0 \) близко к 23163,40, а \( a_1 \) близко к 885,17. Возможно, что \( t \) в таблице - это просто номер периода, а не абсолютное время, и используется другое смещение.

Пересчитаем \( a_1 \) и \( a_0 \) используя прямые формулы с \( Σ \).

\( a_1 = \frac{n Σ yt - Σ y × Σ t}{n Σ t^2 - (Σ t)^2} \)

\( Σ y = 346993 \)

\( Σ t = 78 \)

\( Σ t^2 = 650 \)

\( Σ yt \). Требуется пересчитать \( y \times t \) из таблицы:

24552*1 = 24552

26568*2 = 53136

28246*3 = 84738

29876*4 = 119504

24757*5 = 123785

23662*6 = 141972

27581*7 = 193067

30968*8 = 247744

26771*9 = 240939

30853*10 = 308530

33911*11 = 373021

39260*12 = 471120

\( Σ yt = 24552+53136+84738+119504+123785+141972+193067+247744+240939+308530+373021+471120 = 2382108 \)

\( a_1 = \frac{12 \times 2382108 - 346993 \times 78}{12 \times 650 - (78)^2} = \frac{28585296 - 27065454}{7800 - 6084} = \frac{1519842}{1716} ≈ 885,69 \)

\( a_0 = \frac{Σ y - a_1 Σ t}{n} = \frac{346993 - 885,69 \times 78}{12} = \frac{346993 - 69083,82}{12} = \frac{277909,18}{12} ≈ 23159,10 \)

Эти значения \( a_0 ≈ 23159,10 \) и \( a_1 ≈ 885,69 \) очень близки к первому варианту ответа: \( y' = 23163,40 + 885,17 \times t \). Разница обусловлена округлениями в процессе вычислений и, возможно, в исходных данных таблицы.

Наиболее вероятный вариант ответа: \( y' = 23163,40 + 885,17 \times t \).

Ответ: y' = 23163,40 + 885,17 * t.