5. Какой длины волны следует направить лучи на поверхность цинка, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 2000 км/с? Красная граница фотоэффекта для цинка равна 0,35 мкм.

5. Дано:

• v = 2000 км/с = 2 * 10⁶ м/с
• λ₀ = 0,35 мкм = 0,35 * 10⁻⁶ м = 3,5 * 10⁻⁷ м
• h = 6,62 * 10⁻³⁴ Дж * с (постоянная Планка)
• c = 3 * 10⁸ м/с (скорость света в вакууме)
• mₑ = 9,1 * 10⁻³¹ кг (масса электрона)

Найти: λ - ?

Решение:

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$$hν = A + \frac{mₑv²}{2}$$

Преобразуем, учитывая, что ν = c/λ и A = hc/λ₀:

$$\frac{hc}{λ} = \frac{hc}{λ₀} + \frac{mₑv²}{2}$$

Выразим 1/λ:

$$\frac{1}{λ} = \frac{1}{λ₀} + \frac{mₑv²}{2hc}$$ $$\frac{1}{λ} = \frac{2hc + λ₀mₑv²}{2hcλ₀}$$

λ будет равно:

$$λ = \frac{2hcλ₀}{2hc + λ₀mₑv²}$$

Подставим значения и вычислим:

$$λ = \frac{2 \cdot 6.62 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 3.5 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 6.62 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8 + 3.5 \cdot 10^{-7} \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \cdot (2 \cdot 10^6)²} =$$ $$= \frac{13.24 \cdot 3 \cdot 3.5 \cdot 10^{-34+8-7}}{13.24 \cdot 10^{-26} + 3.5 \cdot 9.1 \cdot 4 \cdot 10^{-7-31+12}} = \frac{139.02 \cdot 10^{-33}}{13.24 \cdot 10^{-26} + 127.4 \cdot 10^{-26}} =$$ $$= \frac{139.02 \cdot 10^{-33}}{140.64 \cdot 10^{-26}} \approx 0.988 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 98.8 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 98.8 \text{ нм}$$

Ответ: λ ≈ 98.8 нм