Какой граф состоит из 5 вершин со степенями: 2, 2, 2, 2, 4?

Решение:

В графе суммарная степень всех вершин равна удвоенному числу рёбер. В данном случае, сумма степеней вершин равна \( 2+2+2+2+4 = 12 \). Это означает, что в графе 6 рёбер.

Рассмотрим предложенные варианты графов:

• Вариант 1: Подсчитаем степени вершин. Одна вершина имеет степень 4 (соединена с тремя другими вершинами и сама с собой — петля, или же с четырьмя другими вершинами, но на картинке петли не видно, поэтому предполагаем, что это вершина, соединенная с четырьмя другими), три вершины имеют степень 2, и одна вершина имеет степень 1. Сумма степеней: \( 4+2+2+1+? \). Этот вариант не подходит.
• Вариант 2: Подсчитаем степени вершин. Одна вершина имеет степень 4 (соединена с тремя другими вершинами и сама с собой — петля, или же с четырьмя другими вершинами, но на картинке петли не видно, поэтому предполагаем, что это вершина, соединенная с четырьмя другими), три вершины имеют степень 2, и одна вершина имеет степень 1. Сумма степеней: \( 4+2+2+1+? \). Этот вариант не подходит.

Построим граф вручную, соответствующий условию:

Имеется 5 вершин с заданными степенями: 2, 2, 2, 2, 4.

1. Возьмём вершину степени 4. Обозначим её как V1. Она должна быть соединена с четырьмя другими вершинами.
2. У нас осталось 4 вершины со степенями 2, 2, 2, 2.
3. Если V1 соединена с четырьмя другими вершинами, то эти четыре вершины уже имеют степень 1.
4. Пусть V1 соединена с V2, V3, V4, V5. Тогда степень V1=4. Степени V2, V3, V4, V5 пока равны 1.
5. Нам нужно, чтобы степени V2, V3, V4, V5 стали равны 2. Для этого каждую из них нужно соединить ещё с одной вершиной.
6. Мы можем соединить V2 с V3, V3 с V4, V4 с V5, V5 с V2.
7. Проверим степени:
• V1: соединена с V2, V3, V4, V5. Степень = 4.
• V2: соединена с V1, V3, V5. Степень = 3.
• V3: соединена с V1, V2, V4. Степень = 3.
• V4: соединена с V1, V3, V5. Степень = 3.
• V5: соединена с V1, V4, V2. Степень = 3.

Это не соответствует условию.

Другой подход:

Представим, что одна вершина (степени 4) соединена со всеми остальными четырьмя вершинами. Тогда степень этой вершины будет 4. Остальные четыре вершины будут иметь степень 1 (по одному ребру, соединяющему их с вершиной степени 4).

Чтобы степени остальных четырёх вершин стали равны 2, нам нужно добавить ещё по одному ребру к каждой из них. Эти рёбра должны соединять эти вершины между собой.

Пусть вершины будут A, B, C, D, E. Пусть A — вершина степени 4. A соединена с B, C, D, E. Тогда степень A = 4. Степени B, C, D, E = 1.

Теперь нужно соединить B, C, D, E между собой так, чтобы каждая из них получила ещё по одному ребру. Это можно сделать, например, построив цикл из этих четырёх вершин: B-C, C-D, D-E, E-B.

Проверим степени:

• A: соединена с B, C, D, E. Степень = 4.
• B: соединена с A, C, E. Степень = 3.
• C: соединена с A, B, D. Степень = 3.
• D: соединена с A, C, E. Степень = 3.
• E: соединена с A, D, B. Степень = 3.

Это всё ещё не подходит.

Рассмотрим ещё раз условие: степени 2, 2, 2, 2, 4.

Вершина степени 4 должна быть соединена с 4 другими вершинами. То есть, эта вершина должна иметь 4 ребра. Так как у нас всего 5 вершин, и одна из них имеет степень 4, то эта вершина должна быть соединена со всеми остальными четырьмя вершинами.

Пусть вершины будут \( v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 \).

Пусть \( v_5 \) имеет степень 4. Тогда \( v_5 \) соединена с \( v_1, v_2, v_3, v_4 \). Пока степени:

• deg(\($$v_1$$)) = 1
• deg(\($$v_2$$)) = 1
• deg(\($$v_3$$)) = 1
• deg(\($$v_4$$)) = 1
• deg(\($$v_5$$)) = 4

Нам нужно, чтобы степени \( v_1, v_2, v_3, v_4 \) стали равны 2. Для этого каждую из них нужно соединить ещё одним ребром.

Можно соединить \( v_1 \) с \( v_2 \), \( v_3 \) с \( v_4 \). Тогда степени будут:

• deg(\($$v_1$$)) = 1 + 1 = 2
• deg(\($$v_2$$)) = 1 + 1 = 2
• deg(\($$v_3$$)) = 1 + 1 = 2
• deg(\($$v_4$$)) = 1 + 1 = 2
• deg(\($$v_5$$)) = 4

Это соответствует условию.

График будет выглядеть так:

Вершина \( v_5 \) (в центре) соединена рёбрами со всеми остальными четырьмя вершинами \( v_1, v_2, v_3, v_4 \) (по краям).

Дополнительно, \( v_1 \) соединена с \( v_2 \), и \( v_3 \) соединена с \( v_4 \).

Визуальное представление: