Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции $$y = \frac{1}{(1-x)^2}$$?

Решение:

Данная функция имеет вид \( y = \frac{1}{(1-x)^2} \). Рассмотрим её свойства:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( (1-x)^2
  e 0 \), что означает \( 1-x
  e 0 \), откуда \( x
  e 1 \).
• Вертикальная асимптота: Прямая \( x = 1 \) является вертикальной асимптотой.
• Поведение при \( x \to \pm \infty \): При \( x \to \pm \infty \), \( (1-x)^2 \to +\infty \), поэтому \( y = \frac{1}{(1-x)^2} \to 0 \). Прямая \( y = 0 \) (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.
• Значения функции: Так как \( (1-x)^2 \ge 0 \) для всех \( x
  e 1 \), то \( y = \frac{1}{(1-x)^2} > 0 \) для всех \( x \) из области определения. График функции всегда расположен выше оси абсцисс.

Теперь проанализируем представленные графики:

• График 1: Проходит через точку \( (0, 1) \), имеет положительный наклон, не имеет асимптот. Не подходит.
• График 2: Проходит через точку \( (0, 1) \), имеет отрицательный наклон. Не подходит.
• График 3: Имеет вертикальную асимптоту \( x = 1 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \). График расположен выше оси абсцисс. При \( x=0 \), \( y = \frac{1}{(1-0)^2} = 1 \). Этот график соответствует функции.
• График 4: Имеет отрицательный наклон, не имеет видимых асимптот в данном диапазоне. Не подходит.

Таким образом, график под номером 3 соответствует функции \( y = \frac{1}{(1-x)^2} \).

Ответ: 3.