Какой из перечисленных чисел является первообразным корнем по модулю 7?

Пошаговое решение:

Для определения первообразного корня по модулю 7, проверим степени каждого из предложенных чисел по модулю 7.

Вариант 1: Число 2

• 2¹ ≡ 2 (mod 7)
• 2² ≡ 4 (mod 7)
• 2³ ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)

Порядок числа 2 по модулю 7 равен 3. Так как порядок не равен φ(7) = 6, 2 не является первообразным корнем.

Вариант 2: Число 3

• 3¹ ≡ 3 (mod 7)
• 3² ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
• 3³ ≡ 3 * 2 ≡ 6 (mod 7)
• 3⁴ ≡ 3 * 6 ≡ 18 ≡ 4 (mod 7)
• 3⁵ ≡ 3 * 4 ≡ 12 ≡ 5 (mod 7)
• 3⁶ ≡ 3 * 5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)

Порядок числа 3 по модулю 7 равен 6, что совпадает с φ(7). Следовательно, 3 является первообразным корнем.

Вариант 3: Число 4

• 4¹ ≡ 4 (mod 7)
• 4² ≡ 16 ≡ 2 (mod 7)
• 4³ ≡ 4 * 2 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)

Порядок числа 4 по модулю 7 равен 3. Так как порядок не равен φ(7) = 6, 4 не является первообразным корнем.

Вариант 4: Число 6

• 6¹ ≡ 6 (mod 7)
• 6² ≡ 36 ≡ 1 (mod 7)

Порядок числа 6 по модулю 7 равен 2. Так как порядок не равен φ(7) = 6, 6 не является первообразным корнем.

Финальная проверка: По условию, первообразным корнем является число, порядок которого равен φ(7)=6. Из предложенных вариантов только у числа 3 порядок равен 6.

Ответ: 3