5 Какой треугол ются стороны прямоугольного пред 6 Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. 7 Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 8 Докажите, что если два угла треугольника равны, то тре- угольник равнобедренный. 9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника? 10 Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного тре- угольника равна 90°. 11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируй- те и докажите обратное утверждение. 12 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Ответ: Решения задач 6-12

6. Докажите, что в треугольнике:

1. 1) против большей стороны лежит больший угол;

   Логика такая:

   • Возьмем треугольник ABC, где сторона AB больше стороны AC.
   • На стороне AB отметим точку D так, что AD = AC.
   • Тогда угол ADC равен углу ACD (так как треугольник ADC равнобедренный).
   • Угол ABC меньше угла ADC (как внешний угол треугольника BDC).
   • Следовательно, угол ABC меньше угла ACD, а угол ACB больше угла ACD.
   • Значит, угол ABC меньше угла ACB, что и требовалось доказать.

2. 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

   Логика такая:

   • Предположим, что в треугольнике ABC угол A больше угла B.
   • Допустим, что сторона BC не больше стороны AC.
   • Тогда либо BC = AC, либо BC < AC.
   • Если BC = AC, то углы A и B равны (как углы при основании равнобедренного треугольника), что противоречит условию.
   • Если BC < AC, то угол A меньше угла B (по доказанному в пункте 1), что также противоречит условию.
   • Следовательно, BC > AC, что и требовалось доказать.

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Логика такая:

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит против прямого угла (90°), а катеты лежат против острых углов.
• Прямой угол больше любого острого угла.
• По теореме (пункт 6), против большего угла лежит большая сторона.
• Следовательно, гипотенуза больше любого катета.

8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Логика такая:

• Пусть в треугольнике ABC угол A равен углу C.
• Тогда сторона BC равна стороне AB (как стороны, лежащие против равных углов).
• Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.

9. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Логика такая:

• Пусть дан треугольник ABC.
• Нужно доказать, что AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC.
• Возьмем сторону AB и отложим на прямой AB отрезок AD, равный AC + BC, где точка C лежит между A и D.
• Тогда угол ACD больше угла B (как внешний угол треугольника BCD).
• Следовательно, AB < AC + BC. Аналогично доказываются остальные неравенства.

Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

10. Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Логика такая:

• Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой (90°).
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Тогда угол A + угол B + угол C = 180°.
• Угол A + угол B + 90° = 180°.
• Следовательно, угол A + угол B = 90°.

11. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Логика такая:

• Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол A = 30°, угол C = 90°.
• Тогда угол B = 60°.
• Отложим на продолжении катета AC отрезок CD, равный AC.
• Тогда треугольник ABD равносторонний (так как все углы равны 60°).
• Следовательно, AC = 1/2 AB, что и требовалось доказать.

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

12. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Логика такая:

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1 и угол A = углу A1.
• Тогда угол B = 90° - угол A = 90° - угол A1 = углу B1.
• Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по гипотенузе и прилежащему острому углу.

Ответ: Решения задач 6-12