Какую фигуру задаёт \begin{cases} x ≥ 0, y ≥ 0, 6x+5y≤ 30? \end{cases} Изобразите эту фигуру в координатной плоскости и найдите её площадь.

Данная система неравенств задаёт фигуру, ограниченную осями координат и прямой линией. Это треугольник в первом квадранте.

Чтобы найти площадь фигуры, сначала определим точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдём точки пересечения прямой 6x + 5y = 30 с осями координат:

   • Если x = 0, то 6(0) + 5y = 30, отсюда y = 6. Точка (0, 6).

   • Если y = 0, то 6x + 5(0) = 30, отсюда x = 5. Точка (5, 0).

2. Таким образом, фигура представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0, 0), (5, 0) и (0, 6).

3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

4. В данном случае a = 5 и b = 6:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$$

График:

      y
      ↑
    6 +   *
      |  * |
      | *  |
      +-----*----→ x
      0     5

Ответ: Площадь фигуры равна 15.