Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (расстояние, пройденное за первую секунду): \( a_1 = 9 \) метров.
• Разность прогрессии (увеличение расстояния каждую следующую секунду): \( d = 10 \) метров.
• Количество секунд (периодов): \( n = 5 \).

Нам нужно найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, которая обозначает общее расстояние, пройденное камнем за 5 секунд. Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ S_5 = \frac{2 \cdot 9 + (5-1) \cdot 10}{2} \]\[ S_5 = \frac{18 + 4 \cdot 10}{2} \]\[ S_5 = \frac{18 + 40}{2} \]\[ S_5 = \frac{58}{2} \]\[ S_5 = 29 \]

Альтернативный способ (пошаговое вычисление):

1. За 1-ю секунду: 9 метров.
2. За 2-ю секунду: 9 + 10 = 19 метров.
3. За 3-ю секунду: 19 + 10 = 29 метров.
4. За 4-ю секунду: 29 + 10 = 39 метров.
5. За 5-ю секунду: 39 + 10 = 49 метров.

Суммируем расстояния за каждую секунду:

\[ 9 + 19 + 29 + 39 + 49 = 145 \]

Перерасчет с использованием формулы суммы арифметической прогрессии

Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии также может быть записана как:

\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]

Сначала найдем расстояние, пройденное за 5-ю секунду ( \( a_5 \) ):

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ a_5 = 9 + (5-1) · 10 \]\[ a_5 = 9 + 4 · 10 \]\[ a_5 = 9 + 40 \]\[ a_5 = 49 \]Теперь используем формулу суммы:

\[ S_5 = \frac{5}{2} (9 + 49) \]\[ S_5 = \frac{5}{2} (58) \]\[ S_5 = 5 · 29 \]\[ S_5 = 145 \]

Ответ: 145 метров.