Камень массой 100 г падает с высоты 125 см на тарелку массой 200 г, соединенную с вертикально установленной пружиной жесткостью 40 Н/м. Найдите наибольшую деформацию пружины после падения камня. Удар считайте абсолютно неупругим. Начальной деформацией пружины от действия силы тяжести, приложенной к тарелке, можно пренебречь. Ускорение свободного падения равно 10 м/с². Ответ укажите в сантиметрах и округлите до целого числа.

Решение:

1. Определим полную высоту падения камня вместе с тарелкой: $$h = 125 \text{ см} = 1.25 \text{ м}$$
2. Общая масса камня и тарелки:$$m = m_1 + m_2 = 100 \text{ г} + 200 \text{ г} = 0.1 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг} = 0.3 \text{ кг}$$
3. При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса. Найдем скорость камня в момент падения на тарелку: $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1.25} = \sqrt{25} = 5 \text{ м/с}$$
4. После падения камня на тарелку, они движутся вместе как единое целое. Закон сохранения импульса: $$m_1v = (m_1 + m_2)u$$ $$u = \frac{m_1v}{m_1 + m_2} = \frac{0.1 \cdot 5}{0.1 + 0.2} = \frac{0.5}{0.3} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \text{ м/с}$$
5. Запишем закон сохранения энергии для системы камень + тарелка + пружина. В момент максимальной деформации пружины вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию пружины и потенциальную энергию груза в поле тяжести: $$\frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} = (m_1 + m_2)g\Delta x + \frac{k(\Delta x)^2}{2}$$ $$0.5 \cdot k(\Delta x)^2 - (m_1 + m_2)g\Delta x - \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} = 0$$ $$k(\Delta x)^2 - 2(m_1 + m_2)g\Delta x - (m_1 + m_2)u^2 = 0$$ $$40(\Delta x)^2 - 2 \cdot 0.3 \cdot 10\Delta x - 0.3 \cdot (\frac{5}{3})^2 = 0$$ $$40(\Delta x)^2 - 6\Delta x - 0.3 \cdot \frac{25}{9} = 0$$ $$40(\Delta x)^2 - 6\Delta x - \frac{25}{30} = 0$$ $$40(\Delta x)^2 - 6\Delta x - \frac{5}{6} = 0$$ $$240(\Delta x)^2 - 36\Delta x - 5 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 240 \cdot (-5) = 1296 + 4800 = 6096$$ $$\Delta x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 \pm \sqrt{6096}}{2 \cdot 240}$$ Так как деформация не может быть отрицательной, берем положительное значение: $$\Delta x = \frac{36 + \sqrt{6096}}{480} \approx \frac{36 + 78.08}{480} \approx \frac{114.08}{480} \approx 0.2376 \text{ м} = 23.76 \text{ см}$$
6. Округлим до целого числа: 24 см.

Ответ: 24