Камень свободно падает на дно пустого колодца. Через 4 секунды до бросавшего доходит звук от упавшего камня. Считая скорость звука в воздухе равной 334 м/с, определи глубину колодца. Справочные данные: ускорение свободного падения $$g = 10 \frac{м}{с^2}$$. (Ответ округли до целых.)

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть две составляющие времени:

1. Время, за которое камень падает на дно колодца ($$t_1$$).
2. Время, за которое звук от удара камня о дно достигает бросавшего камень человека ($$t_2$$).

Общее время, которое дано в условии задачи, равно сумме этих двух времен: $$t = t_1 + t_2 = 4$$ секунды.

Путь, пройденный камнем при свободном падении, определяется формулой: $$h = \frac{gt_1^2}{2}$$, где $$h$$ - глубина колодца, а $$g$$ - ускорение свободного падения (10 м/с²).

Время, за которое звук проходит расстояние $$h$$, определяется формулой: $$t_2 = \frac{h}{v}$$, где $$v$$ - скорость звука (334 м/с).

Теперь мы можем выразить $$t_2$$ через $$t_1$$ и подставить в уравнение для общего времени:

$$t_2 = \frac{h}{v} = \frac{gt_1^2}{2v}$$

Подставим это в уравнение для общего времени: $$t = t_1 + \frac{gt_1^2}{2v}$$

Теперь у нас есть уравнение относительно $$t_1$$: $$4 = t_1 + \frac{10t_1^2}{2 \cdot 334}$$

$$4 = t_1 + \frac{5t_1^2}{334}$$

Умножим обе части уравнения на 334, чтобы избавиться от дроби:

$$1336 = 334t_1 + 5t_1^2$$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$5t_1^2 + 334t_1 - 1336 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 334^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1336) = 111556 + 26720 = 138276$$

Теперь найдем корни уравнения: $$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-334 \pm \sqrt{138276}}{10}$$

$$t_1 = \frac{-334 \pm 371.85}{10}$$

У нас два возможных значения для $$t_1$$:

$$t_{1,1} = \frac{-334 + 371.85}{10} = \frac{37.85}{10} = 3.785$$

$$t_{1,2} = \frac{-334 - 371.85}{10} = \frac{-705.85}{10} = -70.585$$

Так как время не может быть отрицательным, берем $$t_1 = 3.785$$ секунды.

Теперь найдем глубину колодца, используя формулу $$h = \frac{gt_1^2}{2}$$:

$$h = \frac{10 \cdot (3.785)^2}{2} = \frac{10 \cdot 14.326}{2} = \frac{143.26}{2} = 71.63$$ метра.

Нам нужно выразить ответ в сантиметрах и округлить до целых. 1 метр = 100 см, поэтому:

$$h = 71.63 \cdot 100 = 7163$$ см.

Округлим до целых: 7163 см.

Ответ: 7163