Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $$y = ax^2 + bx$$, где $$a = -\frac{1}{200}$$ м⁻¹, $$b = \frac{19}{20}$$ – постоянные параметры, $$x$$ (м) – смещение камня по горизонтали, $$y$$ (м) – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 30 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 12 метров?

Для решения этой задачи, нам нужно определить, на каком расстоянии от камнеметательной машины высота камня будет равна 30 м + 12 м = 42 м. То есть, нам нужно решить уравнение:

$$-\frac{1}{200}x^2 + \frac{19}{20}x = 42$$

Умножим обе части уравнения на 200, чтобы избавиться от дробей:

$$-x^2 + 190x = 8400$$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2 - 190x + 8400 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = b^2 - 4ac = 190^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8400 = 36100 - 33600 = 2500$$

Так как дискриминант положителен, у нас два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{190 + \sqrt{2500}}{2} = \frac{190 + 50}{2} = \frac{240}{2} = 120$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{190 - \sqrt{2500}}{2} = \frac{190 - 50}{2} = \frac{140}{2} = 70$$

Оба корня положительные, что означает, что на расстоянии 70 м и 120 м от машины камень будет на высоте 42 метра. Нам нужно, чтобы стена была расположена на наибольшем расстоянии от машины, но камень должен пролетать над ней на высоте не менее 12 метров. Это означает, что стена должна быть расположена на расстоянии 70 м от машины, чтобы камень, двигаясь по своей траектории, поднялся на высоту 42 м, пролетел над стеной высотой 30 м (с запасом в 12 м) и начал снижаться.

Ответ: 70 метров.