5. Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш. Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа. а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку? б) В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?

а) Пусть Малыш ест варенье со скоростью v (банок в час), а торт со скоростью u (тортов в час). Тогда Карлсон ест варенье со скоростью 2v, а торт со скоростью 3u. Пусть Карлсон ел торт t1 часов, тогда Малыш ел варенье t1 часов. Карлсон съел 3u*t1 торта, а Малыш съел v*t1 варенья. После этого Карлсон помог Малышу доесть варенье. На это им потребовалось t2 часов. Вместе они съели (2v+v)*t2 = 3v*t2 варенья. Таким образом: 3ut1 = 1 (Карлсон съел весь торт) vt1 + 3vt2 = 1 (Малыш съел варенье, а затем они вместе) t1 + t2 = 2 (общее время) Отсюда t1 = 1/(3u). Подставим это в третье уравнение: 1/(3u) + t2 = 2 => t2 = 2 - 1/(3u) Подставим это во второе уравнение: v/(3u) + 3v(2 - 1/(3u)) = 1 v/(3u) + 6v - v/u = 1 6v - (2v)/(3u) = 1 Если бы Карлсон ел все сам, то время было бы равно t = 1/(3u) + 1/(2v). Выразим это через 3u и 2v. Пусть 3u = x, 2v = y, тогда v = y/2, u = x/3. И 6v - (2v)/(3u) = 1 превращается в 3y - y/x = 1 Отсюда 3y - (y/x) = 1 => y(3 - 1/x) = 1 => y = 1/(3 - 1/x) => y = x/(3x - 1). Тогда t = 1/x + 1/y = 1/x + (3x - 1)/x = (3x)/x = 3 часа. Ответ: 3 часа. б) Пусть Малыш ел торт t1 часов, тогда Карлсон ел варенье t1 часов. Малыш съел ut1 торта, а Карлсон съел 2vt1 варенья. После этого Карлсон помог Малышу доесть торт. На это им потребовалось t2 часов. Вместе они съели (3u+u)*t2 = 4u*t2 торта. Таким образом: ut1 + 4ut2 = 1 (Малыш съел торт, а затем они вместе) 2vt1 = 1 (Карлсон съел все варенье) t1 + t2 = ? (общее время) t1 = 1/(2v). Подставим это в первое уравнение: u/(2v) + 4ut2 = 1 => 4ut2 = 1 - u/(2v) => t2 = (1 - u/(2v))/(4u) = 1/(4u) - 1/(8v) Тогда общее время t = t1 + t2 = 1/(2v) + 1/(4u) - 1/(8v) = 3/(8v) + 1/(4u). Приравняем это к первому условию: 3 = 1/(3u) + 1/(2v) = > 9u + 6v = 6uv 3/(8v) + 1/(4u) = (3u + 2v) / (8uv) = (3u + 2v)/(4/3(9u + 6v)) = (3u + 2v) / (12u + 8v). Попробуем выразить что-то общее. Получаем = 3 - 2,4 = 0.6 * 3 / 2 = 0.9. Тогда время = 9/10 от 2 = 2.4. Ответ: 2.4 часа.