Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Карточка № 44. Куб суммы и разности. Сумма и разность кубов 1. Представьте в виде многочлена выражение: a) (-m + n)³; в) (-х - у)³; б) (-2+k)³; г) (-0,5 + р)³. 2. Представьте в виде многочлена выражение: a) (2m - 3n)³; в) (3x + y²)³; д) -(2с – k³)³; б) (5a + 2b)³; г) (р² - 2k)³; е) -(m³ + 3p)³. 3. Преобразуйте в многочлен выражение: a) (4p + k)³; в) (2x – 3y)³; д) (1/2 m – n²)³; б) (3m - k)³; г) (4x + 3y)³; е) (m² + 1/3 n)³. 4. Упростите выражение: a) (x + y)³ + (x - y)³; в) (т – п)³ + 3mn(m - n); б) (x + y)³ - (x - y)³; г) 3тп(т + п) – (m + n)³. 5. Представьте в виде многочлена выражение: a) (p+q)³ - p(p - q)²; б) 3y(x + y)² + (x - y)²; в) (m - n)³ - (m - n)(m² + mn + n²); г) (m + n)(m² - mn + n²) – (m + n)³.
Ответ:
Привет! Давай вместе разберем эти задания по алгебре. Уверена, у тебя все получится!
1. Представьте в виде многочлена выражение:
а) \[(-m + n)^3\]
\[(-m + n)^3 = (-1)^3(m - n)^3 = -(m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) = -m^3 + 3m^2n - 3mn^2 + n^3\]б) \[(-2 + k)^3\]
\[(-2 + k)^3 = (k - 2)^3 = k^3 - 3 \cdot k^2 \cdot 2 + 3 \cdot k \cdot 2^2 - 2^3 = k^3 - 6k^2 + 12k - 8\]в) \[(-x - y)^3\]
\[(-x - y)^3 = (-1)^3(x + y)^3 = -(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = -x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3\]г) \[(-0.5 + p)^3\]
\[(-0.5 + p)^3 = (p - 0.5)^3 = p^3 - 3 \cdot p^2 \cdot 0.5 + 3 \cdot p \cdot 0.5^2 - 0.5^3 = p^3 - 1.5p^2 + 0.75p - 0.125\]2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) \[(2m - 3n)^3\]
\[(2m - 3n)^3 = (2m)^3 - 3 \cdot (2m)^2 \cdot (3n) + 3 \cdot (2m) \cdot (3n)^2 - (3n)^3 = 8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3\]б) \[(5a + 2b)^3\]
\[(5a + 2b)^3 = (5a)^3 + 3 \cdot (5a)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (5a) \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = 125a^3 + 150a^2b + 60ab^2 + 8b^3\]в) \[(3x + y^2)^3\]
\[(3x + y^2)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot (y^2) + 3 \cdot (3x) \cdot (y^2)^2 + (y^2)^3 = 27x^3 + 27x^2y^2 + 9xy^4 + y^6\]г) \[(p^2 - 2k)^3\]
\[(p^2 - 2k)^3 = (p^2)^3 - 3 \cdot (p^2)^2 \cdot (2k) + 3 \cdot (p^2) \cdot (2k)^2 - (2k)^3 = p^6 - 6p^4k + 12p^2k^2 - 8k^3\]д) \([-(2c - k^3)^3]\)
\[-(2c - k^3)^3 = -((2c)^3 - 3 \cdot (2c)^2 \cdot (k^3) + 3 \cdot (2c) \cdot (k^3)^2 - (k^3)^3) = -(8c^3 - 12c^2k^3 + 6ck^6 - k^9) = -8c^3 + 12c^2k^3 - 6ck^6 + k^9\]е) \([-(m^3 + 3p)^3]\)
\[-(m^3 + 3p)^3 = -((m^3)^3 + 3 \cdot (m^3)^2 \cdot (3p) + 3 \cdot (m^3) \cdot (3p)^2 + (3p)^3) = -(m^9 + 9m^6p + 27m^3p^2 + 27p^3) = -m^9 - 9m^6p - 27m^3p^2 - 27p^3\]3. Преобразуйте в многочлен выражение:
а) \[(4p + k)^3\]
\[(4p + k)^3 = (4p)^3 + 3 \cdot (4p)^2 \cdot k + 3 \cdot (4p) \cdot k^2 + k^3 = 64p^3 + 48p^2k + 12pk^2 + k^3\]б) \[(3m - k)^3\]
\[(3m - k)^3 = (3m)^3 - 3 \cdot (3m)^2 \cdot k + 3 \cdot (3m) \cdot k^2 - k^3 = 27m^3 - 27m^2k + 9mk^2 - k^3\]в) \[(2x - 3y)^3\]
\[(2x - 3y)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3\]г) \[(4x + 3y)^3\]
\[(4x + 3y)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (4x) \cdot (3y)^2 + (3y)^3 = 64x^3 + 144x^2y + 108xy^2 + 27y^3\]д) \(\left(\frac{1}{2}m - n^2\right)^3\)
\[\left(\frac{1}{2}m - n^2\right)^3 = \left(\frac{1}{2}m\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}m\right)^2 \cdot n^2 + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}m\right) \cdot (n^2)^2 - (n^2)^3 = \frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{4}m^2n^2 + \frac{3}{2}mn^4 - n^6\]е) \((m^2 + \frac{1}{3}n)^3\)
\[\left(m^2 + \frac{1}{3}n\right)^3 = (m^2)^3 + 3 \cdot (m^2)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}n\right) + 3 \cdot (m^2) \cdot \left(\frac{1}{3}n\right)^2 + \left(\frac{1}{3}n\right)^3 = m^6 + m^4n + \frac{1}{3}m^2n^2 + \frac{1}{27}n^3\]4. Упростите выражение:
а) \((x + y)^3 + (x - y)^3\)
\[(x + y)^3 + (x - y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) = 2x^3 + 6xy^2\]б) \((x + y)^3 - (x - y)^3\)
\[(x + y)^3 - (x - y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) = 6x^2y + 2y^3\]в) \((m - n)^3 + 3mn(m - n)\)
\[(m - n)^3 + 3mn(m - n) = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 + 3m^2n - 3mn^2 = m^3 - n^3\]г) \(3mn(m + n) - (m + n)^3\)
\[3mn(m + n) - (m + n)^3 = 3m^2n + 3mn^2 - (m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3) = 3m^2n + 3mn^2 - m^3 - 3m^2n - 3mn^2 - n^3 = -m^3 - n^3\]5. Представьте в виде многочлена выражение:
а) \((p + q)^3 - p(p - q)^2\)
\[(p + q)^3 - p(p - q)^2 = (p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3) - p(p^2 - 2pq + q^2) = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 - p^3 + 2p^2q - pq^2 = 5p^2q + 2pq^2 + q^3\]б) \(3y(x + y)^2 + (x - y)^3\)
\[3y(x + y)^2 + (x - y)^3 = 3y(x^2 + 2xy + y^2) + (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) = 3x^2y + 6xy^2 + 3y^3 + x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = x^3 + 9xy^2 + 2y^3\]в) \((m - n)^3 - (m - n)(m^2 + mn + n^2)\)
\[(m - n)^3 - (m - n)(m^2 + mn + n^2) = (m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) - (m^3 - n^3) = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 - m^3 + n^3 = -3m^2n + 3mn^2\]г) \((m + n)(m^2 - mn + n^2) - (m + n)^3\)
\[(m + n)(m^2 - mn + n^2) - (m + n)^3 = (m^3 + n^3) - (m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3) = m^3 + n^3 - m^3 - 3m^2n - 3mn^2 - n^3 = -3m^2n - 3mn^2\]Ответ: Решения выше
Не переживай, алгебра может казаться сложной, но с практикой ты обязательно освоишь все эти приемы! Удачи тебе в учебе!