Карточка 5 1. Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере. Докажите свойство касательной плоскости. 2. Радиусы оснований усеченного конуса 6 см и 2 см, образующая накло- нена к основанию под углом 60°. Найдите высоту и образующую ко- нуса. 3. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16 см². Най- дите боковую поверхность вписанной правильной шестиугольной приз- мы.

Решение:

1. Определение касательной плоскости к сфере: Плоскость, имеющая с шаром единственную общую точку, называется касательной плоскостью к шару, а их общая точка называется точкой касания плоскости и шара.

   Свойство касательной плоскости: Радиус шара, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

2. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса - равнобокую трапецию. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, где катет, прилежащий к углу 60°, равен разности радиусов оснований, т.е. 6 - 2 = 4 см.

   Высота конуса $$h$$ является катетом, противолежащим углу 60°.

   Тогда $$h = 4 \times tg(60°) = 4\sqrt{3}$$ см.

   Образующая конуса $$l$$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.

   $$l = \frac{4}{cos(60°)} = \frac{4}{0.5} = 8$$ см.

   Ответ: высота конуса $$4\sqrt{3}$$ см, образующая конуса 8 см.

3. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16 см². Осевое сечение равностороннего цилиндра - квадрат, сторона которого равна высоте цилиндра и диаметру основания. Следовательно, площадь осевого сечения равна $$a^2 = 16$$ см², где $$a$$ - сторона квадрата. Отсюда $$a = 4$$ см.

   Тогда высота цилиндра равна 4 см, а радиус основания равен 2 см.

   В основании цилиндра вписана правильная шестиугольная призма. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, которая совпадает с радиусом основания цилиндра. Следовательно, сторона основания призмы равна 2 см.

   Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы равна $$S = P \times h$$, где $$P$$ - периметр основания призмы, $$h$$ - высота призмы.

   Периметр основания призмы $$P = 6 \times 2 = 12$$ см. Высота призмы равна высоте цилиндра, т.е. 4 см.

   Тогда площадь боковой поверхности призмы равна $$S = 12 \times 4 = 48$$ см².

   Ответ: 48 см².