Карточка 5 1. Теорема Фалеса. С помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок на 5 равных частей. 2. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. 3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 16 см каждая, а больший угол равен 135°. Карточка 6 1. Определение прямоугольника. Свойства его диагоналей. 2. Теорема о биссектрисе угла. 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию. Карточка 7 1. Определение ромба. Свойства его диагоналей. 2. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. 3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника. Карточка 8 T 1. Определение квадрата. Свойства сторон, углов и диагоналей. 2. Теорема о пересечении медиан треугольника. 3. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит сторону АС в отношении 2:7, считая от вершины А. Найдите периметр отсечённого треугольника, если АВ = 10 см, ВС = 18 см, СА = 21,5 см.

Теорема Фалеса. С помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок на 5 равных частей.

Для разделения отрезка на 5 равных частей с помощью циркуля и линейки можно воспользоваться теоремой Фалеса.

• Проведите луч из одного конца отрезка.
• Отложите на луче циркулем 5 равных отрезков.
• Соедините конец последнего отрезка с другим концом исходного отрезка.
• Проведите через точки деления прямые, параллельные последней прямой.
• Эти прямые разделят исходный отрезок на 5 равных частей.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Если хорды AB и CD пересекаются в точке E, то AE * EB = CE * ED.

Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 16 см каждая, а больший угол равен 135°.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны, угол ADC = 90°, угол ABC = 135°. AB = AD = 16 см.

Проведем высоту CH к основанию AB. Тогда угол CBH = 135° - 90° = 45°.

Так как угол CBH = 45°, треугольник CBH - равнобедренный, CH = BH = x.

Тогда AB = AH + BH, где AH = AD = 16 см, следовательно, BH = AB - AH = x.

В прямоугольном треугольнике CBH: CH = BH = x. Тангенс угла CBH = CH/BH = 1.

Так как AD = 16 см и угол ABC = 135°, то можем сказать, что CH = AD = 16 см, следовательно, BH = 16 см.

Тогда большее основание AB = AD + BH = 16 + 16 = 32 см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((AB + CD) / 2) * AD = ((32 + 16) / 2) * 16 = (48 / 2) * 16 = 24 * 16 = 384 см².

Определение прямоугольника. Свойства его диагоналей.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства диагоналей прямоугольника:

• Диагонали равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема о биссектрисе угла.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 17 см, AC = 16 см. Проведем высоту BH к основанию AC.

Так как треугольник равнобедренный, высота BH является медианой, то есть AH = HC = AC / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: AB² = AH² + BH².

BH² = AB² - AH² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225.

BH = √225 = 15 см.

Определение ромба. Свойства его диагоналей.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства диагоналей ромба:

• Диагонали перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.

Пусть ABCD - описанный четырехугольник. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD = 12 см.

Периметр четырехугольника: P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD) = 12 + 12 = 24 см.

Площадь описанного четырехугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности: S = (P / 2) * r.

S = (24 / 2) * 5 = 12 * 5 = 60 см².

Определение квадрата. Свойства сторон, углов и диагоналей.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства сторон и углов квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы прямые (90°).

Свойства диагоналей квадрата:

• Диагонали равны.
• Диагонали перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов квадрата.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема о пересечении медиан треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит сторону AC в отношении 2:7, считая от вершины A. Найдите периметр отсечённого треугольника, если AB = 10 см, BC = 18 см, CA = 21,5 см.

Пусть прямая MN параллельна AB и делит сторону AC в отношении 2:7, считая от вершины A, тогда AM/MC = 2/7.

Треугольники ABC и MNC подобны по двум углам (угол C - общий, угол MNC = углу ABC как соответственные при параллельных прямых MN и AB).

Так как AM/MC = 2/7, то AC/AM = (AM + MC) / AM = 1 + MC/AM = 1 + 7/2 = 9/2, следовательно, AM/AC = 2/9.

Тогда NC/BC = AM/AC = 2/9.

NC = (2/9) * BC = (2/9) * 18 = 4 см.

MC/AC = NC/BC = MN/AB = 7/9.

MC = (7/9) * AC = (7/9) * 21,5 = 16,7222 см (округлим до 16,72 см).

MN = (7/9) * AB = (7/9) * 10 = 7,7777 см (округлим до 7,78 см).

Периметр треугольника MNC равен MN + NC + MC = 7,78 + 4 + 16,72 = 28,5 см.