Карточка 1. 1. Найдите НОК чисел: 1) 11 и 12; 2) 16 и 18; 3) 125 и 75; 4) 140 и 420; 5) 24, 68 и 162. 2. Первый велосипедист проезжает круг за 35 секунд, а второй — за 45 секунд. Через какое наименьшее время после одновременного начала движения велосипедисты вновь окажутся на месте старта?

1. Наименьшее общее кратное

1. Числа 11 и 12 взаимно просты, поэтому \(\operatorname{НОК}(11,12)=11\cdot12=132\).
2. Разложим на простые множители: \(16=2^4\), \(18=2\cdot3^2\). Тогда \(\operatorname{НОК}(16,18)=2^4\cdot3^2=144\).
3. \(125=5^3\), \(75=3\cdot5^2\). Берём наибольшие степени простых множителей: \(\operatorname{НОК}(125,75)=3\cdot5^3=375\).
4. \(420=3\cdot140\), значит, 420 делится на 140 и на 420. Поэтому \(\operatorname{НОК}(140,420)=420\).
5. Разложения: \(24=2^3\cdot3\), \(68=2^2\cdot17\), \(162=2\cdot3^4\). Тогда \(\operatorname{НОК}(24,68,162)=2^3\cdot3^4\cdot17=11016\).

Ответ: 1) 132; 2) 144; 3) 375; 4) 420; 5) 11016.

2. Велосипедисты

Чтобы оба велосипедиста одновременно снова оказались у старта, должно пройти число секунд, кратное и 35, и 45. Ищем наименьшее общее кратное:

\(35=5\cdot7\), \(45=3^2\cdot5\).

\(\operatorname{НОК}(35,45)=3^2\cdot5\cdot7=315\).

Ответ: через 315 секунд, то есть через 5 минут 15 секунд.