Карточка № 1. ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед. 1. Назовите: а) точку пересечения прямой AB и плоскости (B₁C₁C); б) линию пересечения плоскостей (AA₁D₁) и (DCC₁). 2. Постройте: а) точку пересечения прямой MN и прямой BB₁; б) точку пересечения прямой MN и плоскости (ABC); в) линию пересечения плоскостей (AMN) и (ABC).

1.

1. Плоскость (B₁C₁C) содержит ребро BC, поэтому прямая AB пересекает её в точке B.
2. Плоскости (AA₁D₁) и (DCC₁) имеют общее ребро DD₁. Их линия пересечения — DD₁.

2. Обозначим через P точку пересечения прямой MN с прямой BB₁, а через Q — точку пересечения MN с прямой BC. По рисунку точки M и N лежат соответственно на B₁C₁ и C₁C. Прямые MN, BB₁ и BC при необходимости продолжаются.

1. Проведём прямую MN и продолжим её до пересечения с прямой BB₁. Полученная точка — P.
2. Плоскость грани BB₁C₁C пересекает плоскость (ABC) по прямой BC. Поэтому искомая точка — Q = MN ∩ BC.
3. Плоскости (AMN) и (ABC) имеют две общие точки: A и Q. Следовательно, их линия пересечения — прямая AQ.

Схема показывает продолжение прямой MN за пределы грани: P лежит на продолжении BB₁, Q — на продолжении BC. Искомая линия пересечения плоскостей в пункте 2в — AQ.