Карточка 12 1. Вывод формулы площади параллелограмма. 2. Свойство сторон описанного четырёхугольника. 3. Подобны ли треугольники АВС и DEF, если угол А = 106 градусов, угол В = 34 градуса, угол Е=106 градусов, угол F = 40 градусов, АС=4,4 см, ВС=7,6 см, DE=15,6 см, DF=22,8см, EF=13,2 см.

Карточка 12

1. Вывод формулы площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними. Формула: S = a × b × sin(γ), где a и b — смежные стороны, а γ — угол между ними.

Другой способ вывода: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Формула: S = a × h, где a — основание, h — высота, опущенная на это основание.

Вывод:

1. Возьмем параллелограмм ABCD, где AB = CD = a, BC = AD = b, и угол ∠ABC = β.


2. Проведем высоту BH из вершины B к стороне AD. В прямоугольном треугольнике ABH:




• sin(∠BAH) = BH / AB


• h = BH = AB × sin(∠BAH) = a × sin(∠BAH)




3. Площадь параллелограмма S = основание × высота = AD × BH = b × (a × sin(∠BAH)) = ab × sin(∠BAH).


4. Если угол между сторонами a и b обозначить как γ, то sin(γ) = sin(180° - ∠BAH) = sin(∠BAH).


5. Таким образом, S = ab × sin(γ).


6. Если использовать основание a и высоту h, то S = a × h.

2. Свойство сторон описанного четырёхугольника:

• В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.


• Для описанного четырёхугольника ABCD: AB + CD = BC + AD.

3. Подобны ли треугольники АВС и DEF, если угол А = 106 градусов, угол В = 34
градуса, угол Е=106 градусов, угол F = 40 градусов, АС=4,4 см, ВС=7,6 см, DE=15,6
см, DF=22,8см, EF=13,2 см.

Решение:

1. Проверим углы треугольника ABC:




• Угол A = 106°


• Угол B = 34°


• Угол C = 180° - (106° + 34°) = 180° - 140° = 40°




2. Проверим углы треугольника DEF:




• Угол E = 106°


• Угол F = 40°


• Угол D = 180° - (106° + 40°) = 180° - 146° = 34°




3. Сравним углы треугольников:




• Угол A = Угол E (106°)


• Угол B = Угол D (34°)


• Угол C = Угол F (40°)




4. Так как все три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то треугольники ABC и DEF подобны по первому признаку подобия (по трём углам).


5. Проверим соотношение сторон (для полной уверенности):




• Стороны, лежащие напротив равных углов, должны быть пропорциональны.


• Напротив угла C (40°) в ΔABC лежит сторона AB.


• Напротив угла F (40°) в ΔDEF лежит сторона DE.


• Напротив угла B (34°) в ΔABC лежит сторона AC.


• Напротив угла D (34°) в ΔDEF лежит сторона EF.


• Напротив угла A (106°) в ΔABC лежит сторона BC.


• Напротив угла E (106°) в ΔDEF лежит сторона DF.




6. Составим соотношения:




• AB / DE


• AC / EF = 4,4 см / 13,2 см = 1/3


• BC / DF = 7,6 см / 22,8 см = 1/3




7. Чтобы найти AB, можно предположить, что подобие сохраняется, и AB/DE = 1/3. Если это так, то AB = DE / 3 = 15,6 / 3 = 5,2 см.


8. Проверим, соответствует ли это соотношение (AB / DE). Если AB = 5.2, то 5.2 / 15.6 = 1/3.

Ответ: Да, треугольники ABC и DEF подобны.