Карточка 13 1. Вывод формулы площади треугольника. 2. Теорема об отношении периметров подобных треугольников. 3. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите отрезок ВС, если угол ОАВ = 30°, АВ = 5 см.

Карточка 13

1. Вывод формулы площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \times b \times h \]

2. Теорема об отношении периметров подобных треугольников.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно отношению их соответствующих сторон.

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \]

3. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите отрезок ВС, если угол ОАВ = 30°, АВ = 5 см.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB и AC — касательные к окружности в точках B и C.
• \[ \angle OAB = 30^{\circ} \]
• \[ AB = 5 \text{ см} \]

Найти:

• BC

Решение:

1. Так как AB — касательная, то радиус OB перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно,
   \[ \angle OBA = 90^{\circ} \].
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB. Мы знаем
   \[ \angle OAB = 30^{\circ} \] и
   \[ AB = 5 \text{ см} \].
3. Мы можем найти длину OB (радиус окружности), используя тангенс угла:
   \[ \tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} \]
   \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{OB}{5} \]
   \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OB}{5} \]
   \[ OB = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]
4. Так как AC также является касательной, то OC = OB =
   \[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \].
5. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB и AC — отрезки касательных, проведенных из одной точки A к окружности, то AB = AC = 5 см.
6. Треугольник ABC является равнобедренным (AB = AC).
7. Из свойств касательных, угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угловой меры дуги, которую стягивает хорда.
8. Рассмотрим
   \[ \triangle OAB \]. Сумма углов равна 180
   \[^{\circ}\].
   \[ \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \].
9. Аналогично в
   \[ \triangle OAC \],
   \[ \angle AOC = 60^{\circ} \].
10. 
    \[ \angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \] (Это если бы O лежал между AB и AC, но здесь O - центр окружности, а AB и AC касательные, поэтому A - точка вне окружности).
11. Коррекция: Точка A находится вне окружности. OB перпендикулярен AB, OC перпендикулярен AC. OB = OC = радиус. AB = AC. Четырехугольник OBAC имеет углы
    \[ \angle OBA = 90^{\circ} \] и
    \[ \angle OCA = 90^{\circ} \].
12. В
    \[ \triangle OAB \],
    \[ \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \].
13. В равнобедренном
    \[ \triangle OBC \] (OB = OC),
    \[ \angle OBC = \angle OCB \].
14. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
15. В прямоугольном
    \[ \triangle OAB \],
    \[ \cos(\angle OAB) = \frac{AB}{OA} \].
16. 
    \[ OA = \frac{AB}{\cos(30^{\circ})} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см} \].
17. 
    \[ OB = OA \sin(30^{\circ}) = \frac{10\sqrt{3}}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \].
18. В
    \[ \triangle OBC \], OB = OC =
    \[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \].
19. Угол
    \[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC \] (это неверно).
20. Угол
    \[ \angle BOC \] — это угол между радиусами OB и OC.
21. Рассмотрим
    \[ \triangle OAB \].
    \[ OA \] — гипотенуза, OB — катет, AB — катет.
22. 
    \[ \angle BOA = 60^{\circ} \] - мы уже вычислили.
23. 
    \[ \angle BOC = 180^{\circ} - 2 \times \angle OAB \] - это для случая, когда A лежит на BC, что не так.
24. Правильно:
    \[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOC \] - тоже неверно.
25. В четырехугольнике OBAC, сумма углов равна 360
    \[^{\circ}\].
    \[ \angle BOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAC \].
26. 
    \[ \angle BAC = 180^{\circ} - 2 \times \angle OAB \] - тоже неверно.
27. 
    \[ \angle BAC = 180^{\circ} - 2 \times 30^{\circ} = 120^{\circ} \] - это если
    \[ \triangle OAB = \triangle OAC \], что верно.
28. 
    \[ \angle BOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \].
29. В равнобедренном
    \[ \triangle OBC \] с углом при вершине
    \[ 60^{\circ} \], он является равносторонним.
30. Следовательно,
    \[ BC = OB = OC = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \].

Ответ:
\[ BC = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]