Карточка 14 1. Вывод формулы площади трапеции. 2. Значения тригонометрических функций для угла в 60°. 3. Хорда АВ стягивает дугу, равную 119°, а хорда АС дугу, равную 43°. Найдите угол

Карточка 14

1. Вывод формулы площади трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

\[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]

2. Значения тригонометрических функций для угла в 60°.

Для угла в 60°:

• 
  \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• 
  \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \]
• 
  \[ \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \]
• 
  \[ \cot(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

3. Хорда АВ стягивает дугу, равную 119°, а хорда АС дугу, равную 43°. Найдите угол

Дано:

• Окружность.
• Хорда AB стягивает дугу
  \[ \overset{\frown}{AB} = 119^{\circ} \].
• Хорда AC стягивает дугу
  \[ \overset{\frown}{AC} = 43^{\circ} \].

Найти:

• 
  \[ \angle BAC \]

Решение:

Угол BAC является вписанным углом, который опирается на дугу BC. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \times \overset{\frown}{BC} \]

Сначала найдем величину дуги BC. Дуга BC может быть найдена как разность или сумма дуг AB и AC, в зависимости от взаимного расположения точек B и C относительно точки A.

Случай 1: Точка C лежит на дуге AB.

Тогда
\[ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{CB} \].

\[ 119^{\circ} = 43^{\circ} + \overset{\frown}{CB} \].

\[ \overset{\frown}{CB} = 119^{\circ} - 43^{\circ} = 76^{\circ} \].

В этом случае
\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \times \overset{\frown}{CB} = \frac{1}{2} \times 76^{\circ} = 38^{\circ} \].

Случай 2: Точка B лежит на дуге AC.

Тогда
\[ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} \].

\[ 43^{\circ} = 119^{\circ} + \overset{\frown}{BC} \].

Этот случай невозможен, так как дуга AC меньше дуги AB, а значит, точка B не может лежать на дуге AC, если A, B, C — точки на окружности, и дуги отсчитываются от A.

Случай 3: Точки B и C находятся на разных сторонах от хорды AC (или AB).

В этом случае дуга BC равна сумме дуг AB и AC, если A находится между B и C по окружности.

Коррекция: Хорда AB стягивает дугу AB, хорда AC стягивает дугу AC. Угол BAC - это угол между хордами AB и AC. Он является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.

Различные расположения точек A, B, C на окружности приводят к разным значениям дуги BC.

Вариант 1: Если A, B, C расположены на окружности последовательно (например, против часовой стрелки).

Дуга AB = 119°, Дуга AC = 43°.

Может быть два варианта: B находится