Карточка 17 1. Первый признак подобия треугольников. 2. Теорема о средней линии трапеции. 3. Найдите sin a и tga, если cos a = 1/3

Карточка 17

1. Первый признак подобия треугольников гласит: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Теорема о средней линии трапеции гласит: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
3. Решение:

   Дано:

   • \[ \cos a = \frac{1}{3} \]

   Найти:

   • \[ \sin a \]
   • \[ \operatorname{tg} a \]

   1. Находим sin a:

   Используем основное тригонометрическое тождество:
   \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

   Подставляем известное значение cos a:

   \[ \sin^2 a + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \]

   \[ \sin^2 a + \frac{1}{9} = 1 \]

   \[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} \]

   \[ \sin^2 a = \frac{8}{9} \]

   \[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} \]

   \[ \sin a = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

   Так как угол a не указан как тупой или лежащий в определенном квадранте, мы принимаем оба знака. Чаще всего в таких задачах подразумевается острый угол, тогда sin a будет положительным. Будем считать, что a — острый угол, поэтому sin a > 0.

   \[ \sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

   2. Находим tg a:

   Используем формулу:
   \[ \operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

   Подставляем найденные значения sin a и известное значение cos a:

   \[ \operatorname{tg} a = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} \]

   \[ \operatorname{tg} a = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{3}{1} \]

   \[ \operatorname{tg} a = 2\sqrt{2} \]

   Ответ:

   • \[ \sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
   • \[ \operatorname{tg} a = 2\sqrt{2} \]