Ответ:

  1. Он ответил: «Меня зовут Фомой, а по прозвищу — Бирюк». После слов автора перед прямой речью ставится двоеточие; однородные части разделяются запятой.
  2. «Лягушка, лягушка, отдай мою стрелу!» — взмолился Иван-царевич. Прямая речь стоит перед словами автора; обращение выделено запятыми.
  3. Мыши прокричали: «Леопольд, мы сдаёмся!» После слов автора перед прямой речью ставится двоеточие; обращение выделено запятой.
  4. «Ну хорошо, я никому не скажу», — засмеялась Валя. Перед словами автора после прямой речи ставятся запятая и тире.
  5. Базаров промолвил: «Что вы тут делаете? Букет вяжете?» После слов автора ставится двоеточие; вопросы в прямой речи оформлены вопросительными знаками.