Ответ:

  1. Он сказал, что вернётся поздно.

    Придаточное изъяснительное: отвечает на вопрос «что он сказал?», присоединяется союзом что.

  2. Пока ты спал, я приготовил завтрак.

    Придаточное времени: указывает, когда было совершено действие.

  3. Город, в котором мы живём, очень шумный.

    Придаточное определительное: относится к слову «город» и отвечает на вопрос «какой?».

  4. Раз ты не хочешь, я сделаю это сам.

    Придаточное условия: имеет значение условия; союзное слово «раз» употреблено в значении «если».

  5. Он бежал так быстро, что все отстали.

    Придаточное меры и степени: поясняет степень действия, выраженную сочетанием «так быстро».

Ответ: 1 — изъяснительное; 2 — времени; 3 — определительное; 4 — условия; 5 — меры и степени.