КАРТОЧКА ПО ГЕОМЕТРИИ №2 «Касательные и окружность» Из точки А к окружности с центром О и радиусом R = 5 проведены две касательные АВ и АС ( В и С - точки касания). АО = 13. Прямая АО пересекает окружность в точке М (ближайшей к А) и хорду ВС в точке К. 1. Найдите АВ. 2. Найдите АК и ВК. 3. Найдите АМ.

1. Треугольник АВО - прямоугольный, так как радиус OB перпендикулярен касательной AB. По теореме Пифагора: AB^2 = AO^2 - OB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144. Следовательно, AB = 12.

2. Площадь треугольника АВО равна (1/2) * AB * OB = (1/2) * 12 * 5 = 30. Также площадь равна (1/2) * AO * BK, где BK - высота к гипотенузе AO. BK = (2 * 30) / 13 = 60/13. Так как треугольник ABC равнобедренный, AK является медианой и высотой к BC. AK = AO - OK. OK = sqrt(OB^2 - BK^2) = sqrt(5^2 - (60/13)^2) = sqrt(25 - 3600/169) = sqrt((4225-3600)/169) = sqrt(625/169) = 25/13. AK = 13 - 25/13 = (169-25)/13 = 144/13. BK = BC/2. BC = 2 * BK = 120/13.

3. Точка М находится на окружности, и AM - отрезок прямой AO. AM = AO - OM = 13 - R = 13 - 5 = 8.