КАРТОЧКА З 1. Сколькими способами можно определить последовательность выступления 8 участников конкурса вокалистов? 2. Из 12 членов правления садоводческого кооператива надо выбрать председателя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? 3. Из 19 членов бригады, прибывшей для ремонта школы, надо выделить троих для ремонта кабинета физики. Сколькими способами это можно сделать? 4. Из 25 билетов по геометрии Андрей не успел подготовить 2 первых и 3 последних билета. Какова вероятность того, что ему достанется подготовленный билет? 5. Из 15 юношей и 12 девушек, прибывших на соревнования по биатлону, тренер должен выделить для участия в смешанной эстафете 2 юношей и 2 девушек. Сколькими способами он может это сделать? 6. На карточках записаны все возможные четырехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, без повторения. Карточки перевернули и перемешали, а затем открыли одну из них. Какова вероятность того, что на этой карточке окажется четное число?

1. Сколькими способами можно определить последовательность выступления 8 участников конкурса вокалистов?

Это задача на перестановки, так как важен порядок. Число перестановок из n элементов равно n! (n факториал).

В нашем случае n = 8, значит, число способов равно 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

Ответ: 40320

2. Из 12 членов правления садоводческого кооператива надо выбрать председателя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Это задача на размещение, так как важен порядок выбора (кто будет председателем, а кто заместителем).

Число размещений из n элементов по k равно A(n, k) = n! / (n-k)!

В нашем случае n = 12, k = 2, значит, число способов равно A(12, 2) = 12! / (12-2)! = 12! / 10! = (12 × 11) = 132

Ответ: 132

3. Из 19 членов бригады, прибывшей для ремонта школы, надо выделить троих для ремонта кабинета физики. Сколькими способами это можно сделать?

Это задача на сочетания, так как порядок выбора не важен.

Число сочетаний из n элементов по k равно C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!).

В нашем случае n = 19, k = 3, значит, число способов равно C(19, 3) = 19! / (3! × 16!) = (19 × 18 × 17) / (3 × 2 × 1) = 969

Ответ: 969

4. Из 25 билетов по геометрии Андрей не успел подготовить 2 первых и 3 последних билета. Какова вероятность того, что ему достанется подготовленный билет?

Всего билетов 25. Не подготовлено 2 + 3 = 5 билетов. Подготовлено 25 - 5 = 20 билетов.

Вероятность достать подготовленный билет равна отношению числа подготовленных билетов к общему числу билетов: P = 20 / 25 = 4/5

Ответ: 4/5

5. Из 15 юношей и 12 девушек, прибывших на соревнования по биатлону, тренер должен выделить для участия в смешанной эстафете 2 юношей и 2 девушек. Сколькими способами он может это сделать?

Сначала выберем 2 юношей из 15: C(15, 2) = 15! / (2! × 13!) = (15 × 14) / (2 × 1) = 105 способов.

Затем выберем 2 девушек из 12: C(12, 2) = 12! / (2! × 10!) = (12 × 11) / (2 × 1) = 66 способов.

Так как выбор юношей и девушек происходит независимо, общее число способов равно произведению числа способов выбора юношей и девушек: 105 × 66 = 6930.

Ответ: 6930

6. На карточках записаны все возможные четырехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, без повторения. Карточки перевернули и перемешали, а затем открыли одну из них. Какова вероятность того, что на этой карточке окажется четное число?

Всего четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Четное число должно заканчиваться на четную цифру, то есть на 2 или 4. Если число заканчивается на 2, то первые три цифры можно выбрать 3! = 6 способами. Аналогично, если число заканчивается на 4, то первые три цифры можно выбрать 3! = 6 способами.

Тогда всего четных чисел будет 6 + 6 = 12.

Вероятность того, что выбранное число окажется четным, равна отношению числа четных чисел к общему числу чисел: P = 12 / 24 = 1/2.

Ответ: 1/2