Касательная (1 балл) После первой попытки Вася решил действовать по-другому. Теперь для каждой из точек x₀ = −1, 0, 1, 2 он строит свою линейную аппроксимацию функции f(x) = x² в этой же точке x₀. Чему равен MAE?

Решение:

Линейная аппроксимация функции \( f(x) = x^2 \) в точке \( x_0 \) — это касательная к графику функции в этой точке. Уравнение касательной имеет вид \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).

Найдем производную функции \( f(x) = x^2 \): \( f'(x) = 2x \).

Для каждой точки \( x_0 \) из множества \( \{-1, 0, 1, 2\} \) найдем уравнение касательной и значение функции \( f(x) \).

1. При \( x_0 = -1 \):

• \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \)
• \( f'(-1) = 2(-1) = -2 \)
• Уравнение касательной: \( y = -2(x - (-1)) + 1 = -2(x + 1) + 1 = -2x - 2 + 1 = -2x - 1 \)

2. При \( x_0 = 0 \):

• \( f(0) = 0^2 = 0 \)
• \( f'(0) = 2(0) = 0 \)
• Уравнение касательной: \( y = 0(x - 0) + 0 = 0 \)

3. При \( x_0 = 1 \):

• \( f(1) = 1^2 = 1 \)
• \( f'(1) = 2(1) = 2 \)
• Уравнение касательной: \( y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1 \)

4. При \( x_0 = 2 \):

• \( f(2) = 2^2 = 4 \)
• \( f'(2) = 2(2) = 4 \)
• Уравнение касательной: \( y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 8 + 4 = 4x - 4 \)

MAE (Mean Absolute Error) — средняя абсолютная ошибка. В данном случае MAE — это среднее значение абсолютной разницы между функцией \( f(x) = x^2 \) и её линейной аппроксимацией в заданных точках.

MAE = \( \frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 |f(x_{0,i}) - y(x_{0,i})| \)

В нашем случае, \( y(x_{0,i}) \) — это значение аппроксимации в точке \( x_{0,i} \), то есть \( y(x_{0,i}) = f(x_{0,i}) \). Следовательно, ошибка в каждой точке равна 0.

MAE = \( \frac{1}{4} (|1 - 1| + |0 - 0| + |1 - 1| + |4 - 4|) = \frac{1}{4} (0 + 0 + 0 + 0) = 0 \).

Ответ: 0.