Касательная и треугольник. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с центром О в точке В. Найдите градусную меру меньшего угла треугольника АОВ, если один из его углов равен 65°.

Решение:

Прямая, касающаяся окружности в точке В, перпендикулярна радиусу ОВ. Следовательно, угол АВО является прямым, то есть \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

В треугольнике АОВ известны два угла: \( \angle ABO = 90^{\circ} \) и один из углов равен \( 65^{\circ} \). По условию задачи, один из углов равен \( 65^{\circ} \). Этот угол может быть \( \angle OAB \) или \( \angle AOB \).

Случай 1: \( \angle OAB = 65^{\circ} \)

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Тогда \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle ABO - \angle OAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).

В этом случае углы треугольника АОВ равны \( 90^{\circ}, 65^{\circ}, 25^{\circ} \). Меньший угол равен \( 25^{\circ} \).

Случай 2: \( \angle AOB = 65^{\circ} \)

В этом случае углы треугольника АОВ равны \( 90^{\circ}, \angle OAB, 65^{\circ} \). Сумма углов равна \( 180^{\circ} \), следовательно \( \angle OAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).

В этом случае углы треугольника АОВ равны \( 90^{\circ}, 25^{\circ}, 65^{\circ} \). Меньший угол равен \( 25^{\circ} \).

В обоих случаях меньший угол треугольника АОВ равен \( 25^{\circ} \).

Ответ: 25