Касательная и треугольник Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с центром О в точке В. Найдите градусную меру меньшего угла треугольника АОВ, если один из его углов равен 72°.

Решение:

По условию, прямая, проходящая через точку А, касается окружности с центром О в точке В. Это означает, что радиус ОВ перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, угол \( \angle OBA \) является прямым, то есть \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

Мы рассматриваем треугольник \( \triangle AOB \). В этом треугольнике нам известен один угол \( \angle OBA = 90^{\circ} \). По условию задачи, один из углов треугольника равен \( 72^{\circ} \). Этот угол не может быть \( \angle OBA \), так как \( 72^{\circ} \neq 90^{\circ} \).

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай 1: \( \angle BAO = 72^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Тогда третий угол \( \angle AOB \) будет равен:

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - \angle OBA - \angle BAO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ} \]
2. Случай 2: \( \angle AOB = 72^{\circ} \).

Тогда третий угол \( \angle BAO \) будет равен:

\[ \angle BAO = 180^{\circ} - \angle OBA - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ} \]

В обоих случаях мы получаем углы \( 90^{\circ}, 72^{\circ}, 18^{\circ} \). Нам нужно найти градусную меру меньшего угла треугольника \( AOB \). Сравнивая полученные значения углов: \( 18^{\circ} < 72^{\circ} < 90^{\circ} \). Меньший угол равен \( 18^{\circ} \).

Ответ: 18.