Касательная к окружности равна 12, а наибольшая секущая, проведенной из той же точки, равна 18. Найдите радиус окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке O и радиусом r. Из точки A вне окружности проведена касательная AB (где B - точка касания) и секущая, проходящая через центр окружности O и пересекающая окружность в точках C и D, где AD - наибольшая секущая.

По теореме о касательной и секущей, произведение длины секущей на её внешнюю часть равно квадрату длины касательной:

$$AB^2 = AC cdot AD$$

По условию задачи, AB = 12 и AD = 18. Пусть AC = x. Тогда:

$$12^2 = x cdot 18$$ $$144 = 18x$$ $$x = \frac{144}{18} = 8$$

Следовательно, AC = 8.

Так как секущая AD проходит через центр O окружности, то AD - диаметр, и AD = 2r. Точка C лежит на секущей AD между точками A и D, при этом AO = AC + CO.

Мы знаем, что AO = AC + r (так как CO - это радиус r). Также известно, что AD = AO + OD, то есть 18 = AO + r.

Из уравнения AO = AC + r получим AO = 8 + r. Подставим это в уравнение AD = AO + r:

$$18 = (8 + r) + r$$ $$18 = 8 + 2r$$ $$2r = 18 - 8$$ $$2r = 10$$ $$r = \frac{10}{2} = 5$$

Таким образом, радиус окружности равен 5.

Ответ: 5