Касательная к вписанной окружности треугольника АВС пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Известно, что АВ = 7 см, ВС = 9 см, АС = 12 см. Найдите периметр треугольника MBN.

Решение:

• Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках K, L и P соответственно.
• По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем: AK = AP, BK = BL, CL = CP.
• Также, по условию, касательная к окружности пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Пусть эта касательная касается окружности в точке Q. Тогда: MQ = MK и NQ = NL.
• Периметр треугольника MBN равен MB + BN + MN.
• MN = MQ + QN = MK + NL.
• Следовательно, периметр треугольника MBN равен MB + BN + MK + NL = (MB + MK) + (BN + NL) = BK + BL.
• Так как BK = BL, то периметр треугольника MBN равен 2BK.
• Обозначим периметр треугольника ABC как P. Тогда P = AB + BC + AC = 7 + 9 + 12 = 28 см.
• Полупериметр p = P/2 = 28/2 = 14 см.
• По формуле Герона, площадь треугольника ABC равна \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)} = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2} = 14\sqrt{5} \) см².
• С другой стороны, площадь треугольника ABC равна \( S = p \cdot r \), где r — радиус вписанной окружности.
• Тогда \( r = \frac{S}{p} = \frac{14\sqrt{5}}{14} = \sqrt{5} \) см.
• Теперь рассмотрим треугольник ABC. Пусть AK = x, тогда AP = x. BK = AB - AK = 7 - x, BL = BK = 7 - x. CP = AC - AP = 12 - x, CL = CP = 12 - x. BC = BL + CL = (7 - x) + (12 - x) = 9.
• Решаем уравнение: 19 - 2x = 9, 2x = 10, x = 5.
• Тогда BK = 7 - x = 7 - 5 = 2 см.
• Следовательно, периметр треугольника MBN равен 2BK = 2 \cdot 2 = 4 см.

Ответ: 4 см