Касательная, проведенная к графику функции y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20 в некоторой точке, образует с положительным направлением оси Ох угол 135°. Найдите координаты точки касания; составьте уравнение касательной.

1. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона: k = tan(135°) = -1.

2. Находим производную функции: y' = 6x^2 - 12x - 19.

3. Приравниваем производную к угловому коэффициенту: 6x^2 - 12x - 19 = -1. Решаем квадратное уравнение: 6x^2 - 12x - 18 = 0, или x^2 - 2x - 3 = 0. Корни: x1 = 3, x2 = -1.

4. Для x = 3: y(3) = 2(3^3) - 6(3^2) - 19(3) + 20 = 54 - 54 - 57 + 20 = -37. Точка касания: (3, -37). Уравнение касательной: y - (-37) = -1(x - 3) => y + 37 = -x + 3 => y = -x - 34.

5. Для x = -1: y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 19(-1) + 20 = -2 - 6 + 19 + 20 = 31. Точка касания: (-1, 31). Уравнение касательной: y - 31 = -1(x - (-1)) => y - 31 = -x - 1 => y = -x + 30.