касательная y = 2x^3 - 4x^8 + 1 точка с абсциссой x_0 = 1

Решение:

Нам дана функция \( y = 2x^3 - 4x^8 + 1 \) и точка с абсциссой \( x_0 = 1 \). Чтобы найти касательную, нам нужно найти значение функции и значение производной в этой точке.

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
   \( y(1) = 2(1)^3 - 4(1)^8 + 1 = 2(1) - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \).
   Таким образом, точка касания имеет координаты \( (1, -1) \).
2. Найдем производную функции:
   \( y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 4x^8 + 1) = 6x^2 - 32x^7 \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
   \( y'(1) = 6(1)^2 - 32(1)^7 = 6(1) - 32(1) = 6 - 32 = -26 \>. Это угловой коэффициент касательной.
4. Уравнение касательной к графику функции в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \).
   Подставим наши значения: \( y - (-1) = -26(x - 1) \)
   \( y + 1 = -26x + 26 \)
   \( y = -26x + 26 - 1 \)
   \( y = -26x + 25 \>

Ответ: Уравнение касательной: \( y = -26x + 25 \).