Касательния перпендикулярна A в точку касания. к окружности в радиусу, проведенному W M 2 Дано: Окружность (TOP=ON=0/M=20 касательные А Миру, AO=*40 Найти: АМ, АЛМА Решение Радиесал омиом проведени в точке -ния Т.Ми т.М. Значит, Kaca-

Ответ: AM = 2√3 см, AN = 2√3 см, ∠MAN = 60°

Решение:

1. Радиусы OM и ON проведены в точки касания M и N, следовательно, OM ⊥ AM и ON ⊥ AN.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAMO. По теореме Пифагора:

   \[AM^2 + OM^2 = AO^2\] \[AM^2 = AO^2 - OM^2\] \[AM^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\] \[AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

   Так как касательные AM и AN проведены из одной точки A, то AM = AN = 2√3 см.

3. Треугольники ΔAMO и ΔANO равны (по катету и гипотенузе), следовательно, углы ∠MAO = ∠NAO.

   ∠MAO = ∠NAO = ∠MAN / 2

4. В прямоугольном треугольнике ΔAMO:

   \[sin∠MAO = \frac{OM}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] \[∠MAO = arcsin(\frac{1}{2}) = 30°\]

5. Следовательно, ∠MAN = 2 ⋅ ∠MAO = 2 ⋅ 30° = 60°.

Ответ: AM = 2√3 см, AN = 2√3 см, ∠MAN = 60°