Касательные СА И СВ к окружности образуют угол АСВ, равный 138°. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем величину большей дуги AB. Угол АСВ является внешним углом к окружности. Величина этого угла равна полуразности большей и меньшей дуг, стягиваемых точками касания. Однако, проще использовать свойство, что сумма центрального угла, образованного радиусами, проведенными в точки касания, и угла между касательными равна 180°. Но в данном случае дан угол между касательными. Также, центр окружности O, точки касания A и B, и точка C образуют четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Углы OAC и OBC — прямые (90°), так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол AOB (центральный угол, равный меньшей дуге AB) равен: \( 360° - 90° - 90° - 138° = 42° \).
2. Шаг 2: Альтернативный способ: Величина угла между касательными и величина большей дуги AB связаны соотношением: \( ext{угол} = rac{1}{2} ( ext{большая дуга} - ext{меньшая дуга}) \). Но более прямое соотношение: угол между касательными равен полуразности большей и меньшей дуг. Проще использовать, что угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой этой хордой. Однако, здесь дан угол между двумя касательными. Важно свойство: сумма углов между касательными и центрального угла, опирающегося на меньшую дугу, равна 180°. То есть, если угол АСВ = 138°, то центральный угол АОВ (соответствующий меньшей дуге АВ) равен \( 180° - 138° = 42° \).
3. Шаг 3: Таким образом, величина меньшей дуги АВ равна величине соответствующего центрального угла АОВ.

Ответ: 42