Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник AOB.

• OA и OB — радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Треугольник AOB — равнобедренный.
• Угол между касательными \( \angle AOB \) равен \( 72^{\circ} \) (по условию).

2. Найдем углы при основании равнобедренного треугольника AOB.

• Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).
• \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)
• Так как \( \angle OAB = \angle OBA \) (углы при основании равнобедренного треугольника), то:
• \( 2 \cdot \angle OBA + 72^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 72^{\circ} \)
• \( 2 \cdot \angle OBA = 108^{\circ} \)
• \( \angle OBA = \frac{108^{\circ}}{2} \)
• \( \angle OBA = 54^{\circ} \)

3. Угол ABO является углом OBA.

Ответ: 54