Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник AOBK, где K — точка пересечения касательных. По условию, угол между касательными равен \( 72^{\circ} \).

Так как OA и OB — радиусы, проведённые в точки касания, то \( OA \perp AK \) и \( OB \perp BK \). Следовательно, углы \( \angle OAK \) и \( \angle OBK \) равны \( 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \). В четырёхугольнике AOBK: \( \angle AOB + \angle OAK + \angle AKB + \angle OBK = 360^{\circ} \).

Подставим известные значения: \( \angle AOB + 90^{\circ} + 72^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + 252^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 252^{\circ} = 108^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \). Так как OA и OB — радиусы одной окружности, то \( OA = OB \). Следовательно, \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в \( \triangle ABO \) равна \( 180^{\circ} \): \( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \).

Подставим значение \( \angle AOB = 108^{\circ} \): \( 108^{\circ} + \angle OBA + \angle OBA = 180^{\circ} \).

\( 108^{\circ} + 2 \angle OBA = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

\( \angle OBA = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \).

Угол \( ABO \) — это и есть угол \( \angle OBA \).

Ответ: 36 градусов.