Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 64°. Найдите угол АВО.

Дано, что касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 64°. Нужно найти угол \(\angle ABO\). 1. Поскольку касательные к окружности перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания, то углы \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\) равны 90°. Таким образом, \(\angle OAB = \angle OBA = 90^\circ\). 2. Рассмотрим четырехугольник, образованный точками касания A и B, точкой пересечения касательных (обозначим ее C) и центром окружности O. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно, \(\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ\). 3. Зная, что \(\angle ACB = 64^\circ\), \(\angle OAC = 90^\circ\) и \(\angle OBC = 90^\circ\), можем найти \(\angle AOB\): \(\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 64^\circ = 116^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы окружности). Следовательно, углы \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\) равны. 5. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\). 6. Так как \(\angle OAB = \angle OBA\), обозначим их как x. Тогда \(2x + 116^\circ = 180^\circ\). 7. Решаем уравнение: \(2x = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\), \(x = 32^\circ\). Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA = 32^\circ\). **Ответ: 32°**