Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 68° (см. рисунок). Найдите градусную меру угла САВ.

Дано: Окружность с центром O, касательные CA и CB, ∠ACB = 68°.

Найти: ∠CAB.

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник OACB. Так как CA и CB - касательные к окружности в точках A и B, то OA ⊥ CA и OB ⊥ CB. Значит, ∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.

2. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Следовательно,

   ∠AOB + ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC = 360°

   ∠AOB + 90° + 68° + 90° = 360°

   ∠AOB = 360° - 90° - 68° - 90° = 112°

3. Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB - радиусы окружности, то OA = OB. Следовательно, треугольник OAB - равнобедренный с основанием AB.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠OAB = ∠OBA. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно,

   ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°

   ∠OAB + ∠OAB + 112° = 180°

   2 * ∠OAB = 180° - 112° = 68°

   ∠OAB = 68° / 2 = 34°

5. Так как ∠OAC = 90° и ∠OAB = 34°, то

   ∠CAB = ∠OAC - ∠OAB = 90° - 34° = 56°

Ответ: 56°