Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 68°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В данной задаче мы имеем дело с окружностью и касательными, проведенными из одной точки.

1. Свойства касательных: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, углы ОАВ и ОВА равны 90 градусов.
2. Свойства четырехугольника: Рассмотрим четырехугольник, образованный точками А, В, О и точкой пересечения касательных (обозначим ее как С). Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.
3. Расчет угла АОВ: Угол между касательными равен 68°. Так как радиусы ОА и ОВ равны, треугольник АОВ является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
4. Поиск угла АВО: В равнобедренном треугольнике АОВ, OA = OB (радиусы). Угол ОАВ = 90°. В четырехугольнике АСВO, углы САО = СВО = 90°. Угол АСВ = 68°. Сумма углов четырехугольника АСВO равна 360°. Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 68° = 122°.
5. Углы в треугольнике АОВ: В треугольнике АОВ: OA = OB, поэтому он равнобедренный. Угол АОВ = 122°. Сумма углов треугольника равна 180°. Угол ОАВ + Угол ОВА + Угол АОВ = 180°. Угол ОАВ = Угол ОВА. 2 * Угол ОВА + 122° = 180°. 2 * Угол ОВА = 180° - 122° = 58°. Угол ОВА = 58° / 2 = 29°.

Ответ: 29