Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 78°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 78°.

Центр окружности О, точки касания А и В. OA и OB — радиусы, проведённые в точки касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OAB = 90° \) и \( \angle OBA = 90° \).

Рассмотрим четырёхугольник, образованный точкой пересечения касательных и точками касания. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Угол между касательными равен 78°, значит, \( \angle AOB = 180° - 78° = 102° \) (если рассматривается угол, образованный радиусами). Если угол между касательными — это угол, образованный их продолжениями, то ситуация меняется.

В данном случае, по свойству касательных, треугольник AOB является равнобедренным (OA = OB — радиусы).

Угол между касательными = 78°.

Угол между радиусами, проведёнными к точкам касания (\( \angle AOB \)) и угол между касательными в точке их пересечения (\( \angle PAO \) — где P - точка пересечения касательных) в сумме дают 180°. Так как касательные пересекаются под углом 78°, то этот угол (78°) и есть угол между касательными.

\( \angle AOB = 180° - 78° = 102° \).

В равнобедренном треугольнике AOB, \( OA = OB \). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 102°}{2} = \frac{78°}{2} = 39° \).

Ответ: 39