Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению — на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть собственная скорость катера равна \(v\) км/ч, а скорость течения — \(u\) км/ч. Тогда скорости катера против течения и по течению равны соответственно \(v-u\) и \(v+u\).

Обозначим скорость против течения через \(x\), а по течению — через \(y\). По условию:

1. Время движения на первых двух участках составляет 3 ч: \(\frac{48}{x}+\frac{30}{y}=3\).
2. 15 км по течению катер проходит на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения: \(\frac{36}{x}-\frac{15}{y}=1\).

Введём обозначения \(a=\frac{1}{x}\) и \(b=\frac{1}{y}\). Получаем систему:

\[\begin{cases}48a+30b=3,\\36a-15b=1.\end{cases}\]

Умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения: \(120a=5\), значит, \(a=\frac{1}{24}\), откуда \(x=24\) км/ч.

Подставим во второе уравнение: \(36\cdot\frac{1}{24}-15b=1\), поэтому \(b=\frac{1}{30}\), откуда \(y=30\) км/ч.

Собственная скорость катера равна полусумме скоростей по течению и против течения: \(v=\frac{30+24}{2}=27\) км/ч.

Скорость течения равна их полуразности: \(u=\frac{30-24}{2}=3\) км/ч.

Проверка: \(48:24+30:30=2+1=3\) ч; \(36:24-15:30=1.5-0.5=1\) ч.

Ответ: собственная скорость катера — 27 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.