Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 5 часов, а по течению реки за 3 часа. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние, \( v_к \) — скорость катера, \( v_р \) — скорость течения реки, \( v_п \) — скорость плота.

По озеру катер плывет без течения, поэтому его скорость равна \( v_к \). Расстояние, которое он проплывает за 5 часов:

\[ S = v_к \cdot 5 \]

По течению реки катер плывет со скоростью \( v_к + v_р \). Расстояние, которое он проплывает за 3 часа:

\[ S = (v_к + v_р) \cdot 3 \]

Плот движется только под действием течения, поэтому его скорость равна скорости течения реки: \( v_п = v_р \).

Приравниваем расстояния:

\[ v_к \cdot 5 = (v_к + v_р) \cdot 3 \]

Раскрываем скобки:

\[ 5v_к = 3v_к + 3v_р \]

Переносим \( 3v_к \) влево:

\[ 5v_к - 3v_к = 3v_р \]

\[ 2v_к = 3v_р \]

Отсюда можем выразить скорость катера через скорость течения:

\[ v_к = \frac{3}{2} v_р \]

Теперь подставим это в выражение для расстояния \( S \) через скорость течения \( v_р \). Возьмем первое уравнение \( S = v_к \cdot 5 \) и заменим \( v_к \):

\[ S = \left( \frac{3}{2} v_р \right) \cdot 5 = \frac{15}{2} v_р \]

Чтобы найти время, которое потребуется плоту для преодоления этого расстояния, воспользуемся формулой \( t = \frac{S}{v_п} \). Так как \( v_п = v_р \), получаем:

\[ t = \frac{\frac{15}{2} v_р}{v_р} = \frac{15}{2} \]

\[ t = 7.5 \text{ часа} \]

Ответ: 7.5 часа.